poj 2299 Ultra-QuickSort(求逆序数，树状数组)

根据标题 "poj 2299 Ultra-QuickSort(求逆序数，树状数组)"，我们将详细讨论这道题目。

1. 题目背景

在这道题目中，我们需要通过实现一个树状数组来求解逆序数。逆序数是指在一个数组中，出现在比它索引小的位置但是数值却较大的元素对的数量。解决这个问题的关键在于使用树状数组作为一个高效的数据结构来计算逆序数。

2. 树状数组

树状数组（Fenwick树）是用于高效计算前缀和的数据结构，可以实现在O(logN)的时间复杂度内对数组进行更新和查询操作。它的核心思想是利用二进制表示来组织数据，将原始数组以累加的形式存储在树状数组中。

下面是树状数组的关键操作：

2.1 初始化树状数组

我们首先需要定义一个长度为n+1的树状数组，其中n是原始数组的长度。然后将数组的所有元素初始化为0。

def init(n):

    global C
    C = [0] * (n + 1)

这里我们用一个全局变量C来表示树状数组。

2.2 更新操作

对于树状数组的更新操作，我们需要从当前位置向上更新，直到达到数组的末尾。

def update(x, v):

    while x <= n:
        C[x] += v
        x += lowbit(x)

这里的lowbit函数用于计算x的最低位1所对应的值，即lowbit(x) = x & (-x)。

2.3 查询操作

查询操作用于计算前缀和，对应于计算逆序数的问题，我们需要查询某个位置之前的数的和。

def getsum(x):

    res = 0
    while x > 0:
        res += C[x]
        x -= lowbit(x)
    return res

3. 求逆序数

在这道题目中，我们需要求解逆序数。我们可以通过对原始数组进行从后往前的遍历，同时使用树状数组来记录每个数之前有多少个比它大的数。

具体算法如下：

首先，我们初始化逆序数为0，同时初始化树状数组。

然后，我们从后往前遍历数组。

对于每个位置i上的数a[i]，我们可以通过查询树状数组中位置a[i]之前的数的和来得到逆序数。

在计算完逆序数后，我们需要更新树状数组，将位置a[i]上的数加入到树状数组中。

count = 0

init(n)
for i in range(n-1, -1, -1):
    count += getsum(a[i])
    update(a[i], 1)

4. 总结

通过使用树状数组，我们可以高效地求解逆序数。这道题目中，我们实现了树状数组的初始化、更新和查询操作，并利用树状数组来解决逆序数问题。

树状数组是一种非常有用的数据结构，可以应用于各种计算前缀和的场景。掌握了树状数组的原理和操作，能够更好地解决类似的问题。