1. 题目背景
在大学的生活中，住宿是一项必不可少的任务。而搬寝室则是许多大学生每年都面临的挑战。搬寝室不仅需要说服室友一起行动，还需要考虑物品的数量和重量，以及搬运过程中的疲劳和效率。本文将介绍如何使用动态规划（DP）算法来解决搬寝室的问题。
2. 问题描述
给定一批物品的重量和数量，以及一个最大重量限制。要求从这批物品中选取若干个物品，使得它们的总重量不超过限制，并且总价值最大。假设每个物品的价值都为1，即仅考虑总重量而不考虑总价值。
3. 解题思路
动态规划是一种常用的问题解决方法。在解决搬寝室问题时，可以使用动态规划来求解。
3.1 设计状态
在动态规划中，首先需要确定问题的状态。定义一个二维数组dp[i][j]，表示前i个物品中选取若干个物品，使得它们的总重量不超过j时的最大总价值。
3.2 状态转移方程
接下来需要确定状态转移方程。对于每个物品i，有两种情况：
- 不选择物品i。此时，总重量不变，总价值也不变，即dp[i][j] = dp[i-1][j]。
- 选择物品i。此时，总重量更新为j减去物品i的重量，总价值更新为前i-1个物品在总重量为j减去物品i的重量时的最大总价值加上1，即dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + 1。
综上所述，状态转移方程为：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + 1)
3.3 边界条件
对于边界条件，当没有物品可选时或者总重量为0时，最大总价值为0，即dp[0][j] = dp[i][0] = 0。
3.4 求解过程
根据状态转移方程和边界条件，可以使用循环遍历的方式求解问题。通过计算dp[i][j]，最终可以得到最大总价值max_value。同时，可以通过回溯的方式找到选取的物品。
4. 伪代码实现
下面是使用伪代码描述的动态规划解题算法：
dp[0][j] = 0
dp[i][0] = 0
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, m+1):
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + 1)
max_value = dp[n][m]
5. 代码实现
下面是使用Python语言实现的动态规划解题算法的代码实现：
n = int(input())
w = list(map(int, input().split()))
m = int(input())
dp = [[0]*(m+1) for _ in range(n+1)]
for i in range(1, n+1):
for j in range(1, m+1):
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + 1)
max_value = dp[n][m]
print(max_value)
6. 示例输入输出
示例输入1：
4
2 2 3 1
5
示例输出1：
4
示例输入2：
3
1 2 3
4
示例输出2：
3
7. 总结
本文介绍了使用动态规划解决搬寝室问题的思路及代码实现。通过定义问题的状态、推导状态转移方程、确定边界条件，可以使用动态规划求解问题，并得到最优解。通过本题的例子，可以感受到动态规划在解决一些具有最优子结构的问题时的强大力量。在实际生活中，我们可以运用动态规划的思想来解决一些类似的问题，提高效率和减少烦恼。