hdu 4352 XHXJ's LIS(dp,压缩版递增序列，5级)

1. 题目概述

本文将详细解析杭电OJ上的题目 hdu 4352 "XHXJ's LIS(dp,压缩版递增序列，5级)". 这是一道动态规划（Dynamic Programming）的题目，需要求解最长递增子序列的长度。

2. 问题描述

给定一个长度为 N 的序列 A，你需要求解其最长递增子序列（LIS）的长度。最长递增子序列指的是序列中的一部分元素按照原始顺序组成的递增序列，不要求连续。

3. 解题思路

3.1 动态规划状态定义

我们用 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长递增子序列的长度。

dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i])  其中 0 <= j < i 且 A[i] > A[j]

上述状态转移方程的意义是，当 A[i] 大于 A[j] 时，如果以第 j 个元素结尾的最长递增子序列的长度加一大于以第 i 个元素结尾的最长递增子序列的长度，则更新 dp[i] 的值。

3.2 动态规划状态转移

对于每个 i，遍历所有小于 i 的 j，并检查 A[i] 是否大于 A[j]。如果是的话，用之前计算得到的 dp[j] + 1 更新 dp[i]。

for i in range(N):

    for j in range(i):
        if A[i] > A[j]:
            dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i])

3.3 动态规划边界条件

初始时，将 dp 数组全部初始化为 1，因为每个元素都可以看作是一个长度为 1 的最长递增子序列。

dp = [1] * N

3.4 动态规划求解最长递增子序列的长度

遍历整个 dp 数组，找到其中的最大值，即为最长递增子序列的长度。

max_length = max(dp)

4. 代码实现

def length_of_lis(A):

    N = len(A)
    dp = [1] * N
    for i in range(N):
        for j in range(i):
            if A[i] > A[j]:
                dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i])
    max_length = max(dp)
    return max_length
# 测试用例
A = [10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]
print(length_of_lis(A))  # 输出 4

5. 时间复杂度和空间复杂度

由于要遍历两次数组 A，时间复杂度为 O(N^2)。而额外使用了一个长度为 N 的 dp 数组，所以空间复杂度为 O(N)。

6. 总结

本文详细介绍了 hdu 4352 "XHXJ's LIS(dp,压缩版递增序列，5级)" 这道题目的解题思路和代码实现。通过动态规划的思想，我们可以解决最长递增子序列的长度求解问题。需要注意的是，动态规划的状态转移方程和边界条件需要正确地定义和设置，才能得到正确的结果。在解决类似问题时，动态规划是一种非常常用且有效的求解方法。