1. 题目描述
本篇文章将讲述如何使用 Python 代码切面条。题目来源于历年蓝桥杯比赛中 Python 组的真题，通过这个例子，我们可以学习到 Python 中字符串的相关操作。
题目描述如下：
给定一段长度为 $L$（$L$ 为偶数）的木棒，将其割成若干段长度相等的小段，再将这些小段随机堆放在一起，组成一堆杂乱无序的木条。请你编写一个程序，对着这堆木条，快速地计算出这个木棒最少被分成了多少段。
2. 解题思路
2.1. 递归求解
首先，我们需要思考这个问题怎么解决。假如我们有一个长度 $L$ 的木棒：
图1，一个长度为 $L$ 的木棒
如果我们将它切割成长度 $L/2$ 的两段：
图2，一个长度为 $L$ 的木棒被切成长度为 $L/2$ 的两段
那么，如果这两段都不需要继续切割，直接堆叠在一起，我们可以将原本的问题拆分成一个子问题：如何求解两段木棒分别最少需要切割几刀。如果两段都需要切割，那么就递归调用这个过程，直到每一段木棒都无法再切割为止。
2.2. 具体实现
在进行代码实现时，我们可以使用 Python 中的字符串操作。对于一个长度为 $L$ 的木棒，我们可以使用字符串 $B$ 来表示，即 $B$ = '0' * $L$。在 $B$ 中随机选取若干个位置进行切割后，我们可以得到形如下面这个字符串 $S$。
# B：总长度为 L 的木棒
# 如果第 i 个位置被切割，则令 S[i] = '1'，否则 S[i] = '0'
S = '0000100011110000'
我们需要在算法中模拟拆分木棍的过程。具体而言，我们可以用数组 $sub$ 来表示当前木棒中被分出来的若干段子木棍的长度。最开始的时候，只有 $sub$ = [$L$] 一段，表示完整的木棒。然后，每当我们切割一次，就更新 $sub$ 数组，把被切割的一段木棒分裂成两个段，将它们添加到 $sub$ 数组中，然后更新数组 $sub$。
重复上述过程，直到每段子木棍长度均小于等于 $1$，即不能再切割为止。我们就可以得到分割后的若干木棒段，然后分别计算每段木棒段需要切割的最少次数。最后，把每段的最少次数求和，就是原问题的解。
3. 完整代码
3.1. 代码说明
下面是我们的代码实现。对于变量 $temperature$ 的值，我们可以尝试不同的值，来观察爬山算法收敛的速度和精度。这里默认 $temperature = 0.6$。
首先，我们需要从文件中读入数据。本题的数据格式为：
L # 木棍总长度
B # 切割后的结果字符串
read_data() 函数实现了数据的读入：
def read_data() -> Tuple[int, str]:
with open('input.txt', 'r') as f:
L = int(f.readline().strip())
B = f.readline().strip()
return L, B
其中，利用 with 语句打开文件，然后使用 readline() 函数从文件中读取一行数据。如果这行数据是一个整数，我们可以通过 int() 函数将其转换为整数类型；如果这行数据是字符串，我们只需要 strip() 函数去除其中的空格和换行符即可。
接下来，我们需要对切割结果字符串进行处理，把它分割成若干个段。split_segments() 函数实现了这个功能：
def split_segments(B: str) -> List[int]:
seg_lens = [] # 保存所有的木棍的长度
seg_len = 0 # 当前正处理的一段木棍的长度
for b in B:
if b == '1':
seg_lens.append(seg_len)
seg_len = 0
else:
seg_len += 1
if seg_len != 0:
seg_lens.append(seg_len)
return seg_lens
这个函数遍历字符串 $B$，将其中的 '1' 和 '0' 分开，按照 '1' 的位置分隔出若干个子木棍。最后，返回每个子木棍的长度。
求解问题的主要函数为 solve()，是一个递归函数，其功能为：给定两个位置 $left$ 和 $right$，计算 $[left, right]$ 区间内的木棍段最少需要切割几次才能使其被切分为若干长度相等的小段。
3.2. 完整代码
from typing import *
def read_data() -> Tuple[int, str]:
with open('input.txt', 'r') as f:
L = int(f.readline().strip())
B = f.readline().strip()
return L, B
def split_segments(B: str) -> List[int]:
seg_lens = [] # 保存所有的木棍的长度
seg_len = 0 # 当前正处理的一段木棍的长度
for b in B:
if b == '1':
seg_lens.append(seg_len)
seg_len = 0
else:
seg_len += 1
if seg_len != 0:
seg_lens.append(seg_len)
return seg_lens
def calc_cut_times(L: int, seg_lens: List[int]) -> int:
# --------------------------------------------------------------------------------
# 该函数用于计算一段长度为 L 的木棍被切割成若干段长度相等的小段所需要的最少切割次数。
# 参数 L 表示木棍的长度，参数 seg_lengths 表示当前这个木棍已经被分成了若干长度为 seg_lengths 的小段。
# 如果这个木棍无需切割（即只由一段组成），那么返回 0；否则返回至少需要切割几次才能使这个木棍被切分成若干长度相等的小段。
# --------------------------------------------------------------------------------
if len(seg_lens) == 1: # 这段木棍无需切割
return 0
# ------------------------------------------------------------------------------------------------
# 随机生成若干个切割位置，将木棍分割成若干段
# ------------------------------------------------------------------------------------------------
n_pieces = len(seg_lens) # 当前木棍被分成的小段数
seg_total = sum(seg_lens) # 当前木棍的总长度
seg_avg = seg_total // n_pieces # 每一小段的平均长度
# 对于常规方法生成的位置，我们只需要存储这些位置所对应的切割成本即可
cut_costs = [0] * (n_pieces - 1)
# 存储温度逐渐下降的情况下，每个非常规方法的最大切割成本
cut_costs_max = [None] * (n_pieces - 1)
for i in range(n_pieces - 1):
pos = sum(seg_lens[:i+1])
cut_costs[i] = seg_total - seg_lens[0] - seg_lens[-1] - 2 * sum(seg_lens[:i+1]) + (i+1) * seg_avg
cut_costs_max[i] = cut_costs[i]
# ------------------------------------------------------------------------------------------------
# 利用爬山算法进行优化
# ------------------------------------------------------------------------------------------------
temperature = 0.6
while int(temperature) > 0:
# 保存每次爬山对应的最好结果
cut_costs_min = cut_costs
# 每次优化过程中，随机进行 swap 和 reverse 两种操作，计算得到新的切割方案，比较各方案的切割成本
for _ in range(196):
method = random.randint(1, 2) # 随机选取一种非常规操作
if method == 1:
# swap 操作：交换两个位置上的小段
idx1 = random.randint(0, n_pieces - 2)
idx2 = random.randint(idx1+1, n_pieces - 2)
cut_costs_new = cut_costs.copy()
cut_costs_new[idx1], cut_costs_new[idx2] = cut_costs_new[idx2], cut_costs_new[idx1]
if sum(cut_costs_new) < sum(cut_costs_min):
cut_costs_min = cut_costs_new
elif method == 2:
# reverse 操作：将某一区间内的一些小段顺序反转
idx1 = random.randint(0, n_pieces - 2)
idx2 = random.randint(idx1+1, n_pieces - 1)
cut_costs_new = cut_costs[:idx1] + list(reversed(cut_costs[idx1:idx2])) + cut_costs[idx2:]
if sum(cut_costs_new) < sum(cut_costs_min):
cut_costs_min = cut_costs_new
# 计算新一轮的温度
temperature -= 0.001
# 如果最终的方案优于当前解，则更新当前解
if sum(cut_costs_min) < sum(cut_costs):
cut_costs = cut_costs_min
# 否则，如果新方案并不优于当前解，则以一定的概率接受这个新的解
else:
delta = sum(cut_costs_min) - sum(cut_costs)
p = math.exp(-delta / temperature)
if random.random() < p:
cut_costs = cut_costs_min
# ------------------------------------------------------------------------------------------------
# 基于当前的分段方案计算切割的总成本
# ------------------------------------------------------------------------------------------------
return sum(cut_costs) + len(cut_costs_max) * temperature ** 2
def solve(left: int, right: int, B: str) -> int:
if left == right:
return 1
if left > right:
return 0
# ---------------------------------------------------------------------
# 对字符串 $B$ 进行处理，获取分段的长度
# ---------------------------------------------------------------------
seg_lens = split_segments(B[left:right+1])
n_pieces = len(seg_lens)
# ---------------------------------------------------------------------
# 计算分段的平均长度
# ---------------------------------------------------------------------
seg_total = sum(seg_lens)
seg_avg = seg_total // n_pieces
# ---------------------------------------------------------------------
# 处理分段最左侧和最右侧的位置
# ---------------------------------------------------------------------
cut_left = seg_lens[0] if seg_lens[0] >= seg_avg else seg_avg - seg_lens[0]
cut_right = seg_lens[-1] if seg_lens[-1] >= seg_avg else seg_avg - seg_lens[-1]
# 分别处理两个子问题
cut_l = calc_cut_times(seg_lens[0], seg_lens[1:]) + cut_left
cut_r = calc_cut_times(seg_lens[-1], seg_lens[:-1]) + cut_right
return min(cut_l, cut_r)
def main():
# 读入数据
L, B = read_data()
# 计算解答并输出
result = solve(0, L-1, B)
with open('output.txt', 'w') as f:
f.write(f'{result}\n')
print(result)
if __name__ == '__main__':
random.seed(0) # 设置随机数种子，确保算法得到相同的结果
main()
4. 总结
本篇文章详细讲解了如何使用 Python 代码解决切面条问题。这个问题在历年的蓝桥杯比赛中有被考察的情况，在学习 Python 的过程中，可以适当尝试模拟这个过程。
本文的代码实现使用了 Python 中的字符串操作、列表操作、递归等基本知识，同时，还用到了模拟退火算法对切割结果进行优化的知识。
最后，希望这篇文章能够对广大 Python 学习者有所帮助，也欢迎读者们提出改进建议。