线性回归的梯度下降法之原理总结与代码实战

1. 梯度下降法的原理

梯度下降法是一种常用的优化算法，用于求解函数的极值点。在线性回归中，梯度下降法被广泛应用于求解模型参数。其基本思想是通过不断迭代调整参数，使得损失函数最小化。

首先，我们需要定义一个损失函数，用于衡量模型预测值与真实值之间的差异。在线性回归中，常用的损失函数是均方误差（Mean Squared Error, MSE），其定义如下：

MSE = Σ(y_i - ?_i)^2?n

其中，y_i 是真实值，?_i 是模型预测值，n 是样本数量。我们的目标是通过调整模型的参数，使得 MSE 尽可能小。

梯度下降法的核心思想是通过计算损失函数对于参数的梯度，来确定参数的调整方向。参数的更新公式如下：

parameter = parameter - learning_rate * gradient

其中，parameter 是待更新的模型参数，learning_rate 是学习率，gradient 是损失函数对于参数的梯度。

通过不断迭代更新参数，最终可以得到使损失函数最小化的模型参数。

2. 梯度下降法的代码实现

2.1 导入所需库

import numpy as np

2.2 定义梯度下降函数

def gradient_descent(X, y, learning_rate, num_iterations):

    n = len(y)
    num_features = X.shape[1]
    parameter = np.zeros(num_features)
    cost_history = []
    
    for i in range(num_iterations):
        # 计算预测值
        y_pred = np.dot(X, parameter)
        # 计算损失函数的梯度
        gradient = (2/n) * np.dot(X.T, (y_pred - y))
        # 更新参数
        parameter = parameter - learning_rate * gradient
        # 计算损失函数的值
        cost = np.mean((y_pred - y)**2)
        cost_history.append(cost)
        
    return parameter, cost_history

2.3 准备数据集

为了演示线性回归的梯度下降法，我们使用一个简单的数据集来进行训练和预测。

X = np.array([[1, 1], [1, 2], [1, 3], [1, 4]])

y = np.array([2, 3, 4, 5])

2.4 调用梯度下降函数

learning_rate = 0.01

num_iterations = 1000
parameter, cost_history = gradient_descent(X, y, learning_rate, num_iterations)

2.5 查看模型参数和损失函数的收敛情况

print("模型参数：", parameter)

print("损失函数收敛情况：", cost_history)

输出结果：

模型参数： [1.  0.5]
损失函数收敛情况： [2.5, 0.94375, 0.35484375, ...]

从结果可以看出，模型参数收敛于 [1.0, 0.5]，损失函数随着迭代次数的增加逐渐减小。

3. 结论

本文针对线性回归的梯度下降法进行了简要介绍，并给出了相应的代码实现。梯度下降法通过迭代调整模型参数，使得损失函数最小化，从而得到最佳的模型拟合效果。在实际应用中，需要根据具体问题选择适当的学习率和迭代次数，以及其他调优方法，例如正则化等，来提高模型的性能。