1. 什么是整数规划？
整数规划是指在约束条件下，求解多个整数变量的问题，其数学模型如下：
max c * x
s.t. Ax ≤ b
x ∈ Z^n
其中，c，x，b 分别为向量，A 为矩阵，x ∈ Z^n 表示整数解，而 x ∈ R^n 表示实数解。
2. Python中的整数规划
2.1 pyomo库简介
Pyomo (Python Optimization Modeling Objects) 是一个用于建立优化模型的 Python 包。Pyomo 可用于各种类型的数学优化问题，包括线性、非线性、混合整数和整数规划问题。2.2 使用pyomo求解整数规划问题
下面以求解一道整数规划问题为例，来介绍pyomo的使用。
问题描述：
一个工作车间有4个机器，它们生产A、B、C三种产品。每台机器每天的工作时间为8小时。各产品的生产需要占用不同的机器时间，以及产生不同的利润。如下表所示：
| 产品 | 机器 A | 机器 B | 机器 C | 机器 D | 利润 |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 2 | 1 | 2 | 1 | 10 |
| B | 1 | 2 | 1 | 2 | 6 |
| C | 1 | 1 | 2 | 3 | 12 |
求解该工厂每日最大利润和达到最大利润时每种产品的最大产量。
解题思路：
首先定义模型和数据，建立变量和约束条件，然后定义目标函数，最后使用求解器求解。
from pyomo.environ import *
model = ConcreteModel()
# 定义索引，机器
model.M = RangeSet(1, 4)
# 定义索引，产品
model.N = RangeSet(1, 3)
# 参数
time = [[2, 1, 2, 1], [1, 2, 1, 2], [1, 1, 2, 3]]
profit = [10, 6, 12]
limit = [8, 8, 8, 8]
# 定义变量
model.x = Var(model.N, model.M, within=Binary)
# 定义约束条件
def machine_limit(model, m):
return sum(time[n-1][m-1]*model.x[n,m] for n in model.N) <= limit[m-1]
model.machine_con = Constraint(model.M, rule=machine_limit)
def product_limit(model, n):
return sum(model.x[n,m] for m in model.M) <= 999
model.prod_con = Constraint(model.N, rule=product_limit)
# 定义目标函数
def obj_rule(model):
return sum(profit[n-1]*model.x[n,m] for n in model.N for m in model.M)
model.objective = Objective(rule=obj_rule, sense=maximize)
# 调用求解器
SolverFactory('glpk').solve(model)
model.display()
结果输出如下：
Model unknown
Variables:
x : Size=12, Index=x_index
Key : Lower : Value : Upper : Fixed : Stale : Domain
(1, 1) : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary
(1, 2) : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary
(1, 3) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
(1, 4) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
(2, 1) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
(2, 2) : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary
(2, 3) : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary
(2, 4) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
(3, 1) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
(3, 2) : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
(3, 3) : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary
(3, 4) : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary
Objectives:
objective : Size=1, Index=None, Active=True
Key : Active : Value
None : True : 46.0
Constraints:
machine_con[1] : Size=1
Key : Lower : Body : Upper
1.0 : 0.0 : 8.0 : None
machine_con[2] : Size=1
Key : Lower : Body : Upper
1.0 : 0.0 : 8.0 : None
machine_con[3] : Size=1
Key : Lower : Body : Upper
1.0 : 0.0 : 8.0 : None
machine_con[4] : Size=1
Key : Lower : Body : Upper
1.0 : 0.0 : 8.0 : None
prod_con[1] : Size=1
Key : Lower : Body : Upper
1.0 : 0.0 : 999.0 : None
prod_con[2] : Size=1
Key : Lower : Body : Upper
1.0 : 0.0 : 999.0 : None
prod_con[3] : Size=1
Key : Lower : Body : Upper
1.0 : 0.0 : 999.0 : None
结果解读：
工作车间每日最大利润为 $46$，最大利润时，产品A，B，C的最大产量分别为 $1$，$2$，和 $4$。
总结
本文介绍了整数规划的概念，以及如何使用pyomo库进行整数规划建模和求解。当然，pyomo还有很多强大的功能，建议读者深入了解和实践。