浅谈matplotlib 绘制梯度下降求解过程

1. Introduction

梯度下降是机器学习中最常见的优化算法之一，其主要用于迭代求解损失函数最小值的过程。在本文中，我们将使用Python的matplotlib库来绘制梯度下降求解过程，帮助读者更好地理解该算法。

2. Algorithm Overview

在开始前，我们需要了解梯度下降算法的理论知识。梯度下降算法是一种迭代优化算法，其主要思想是：在每个迭代步骤中，计算目标函数的梯度，然后沿着梯度的反方向移动一定的步长，以达到最小化损失函数的目的。

具体而言，对于一个实数函数f(x)，梯度下降算法的迭代公式如下：

x = x - learning_rate * gradient(f(x))

其中，x代表算法的迭代变量，learning_rate代表学习率（或步长），gradient(f(x))代表函数f在x处的梯度。

3. Code Implementation

为了演示梯度下降算法的求解过程，我们将使用一个简单的一元二次函数作为目标函数。首先，我们需要定义该函数并计算其梯度：

import numpy as np
def f(x):
    return x**2 + 3*x
def gradient(x):
    return 2*x + 3

接下来，我们将实现梯度下降算法的迭代过程，直到损失函数收敛：

def gradient_descent(start, learning_rate, n_iter):
    x_history = [start]
    x = start
    for i in range(n_iter):
        grad = gradient(x)
        x += -learning_rate * grad
        x_history.append(x)
    return np.array(x_history)
x_history = gradient_descent(start=-4, learning_rate=0.6, n_iter=20)

值得注意的是，我们需要指定算法的三个超参数：初始值start、学习率learning_rate、迭代次数n_iter。

4. Visualization of the Gradient Descent Process

我们使用matplotlib库来可视化上述梯度下降算法的求解过程。具体而言，我们将绘制目标函数的图像以及梯度下降算法在迭代过程中所经过的点。

4.1 Plotting the Objective Function

首先，我们绘制目标函数的图像：

import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-5, 2, 100)
y = f(x)
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Objective Function')
plt.show()

运行该段代码，我们可以得到以下目标函数的图像：

4.2 Plotting the Gradient Descent Path

接下来，我们将绘制梯度下降算法在迭代过程中所经过的点。为了更好地展示该过程，我们可以添加一些定位点。

def plot_gradient_descent(x_history):
    plt.figure(figsize=(8, 6))
    plt.plot(x, y)
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    plt.title('Gradient Descent')
    plt.scatter(x_history, f(x_history), c='r')
    plt.scatter(x_history[0], f(x_history[0]), c='g', marker='o')
    plt.scatter(x_history[-1], f(x_history[-1]), c='b', marker='*')
    plt.text(x_history[0], f(x_history[0])+5, 'Start', ha='center', fontsize=12)
    plt.text(x_history[-1], f(x_history[-1])+5, 'End', ha='center', fontsize=12)
    plt.text(0, 50, f'Learning Rate = {learning_rate}, Iteration = {len(x_history)-1}', ha='center', fontsize=12)
    plt.show()
plot_gradient_descent(x_history)

运行该段代码，我们可以得到以下梯度下降算法求解过程的图像：

5. Conclusion

本文主要介绍了Python中如何使用matplotlib库来绘制梯度下降算法的求解过程。通过本文的学习，读者可以更好地理解梯度下降算法的迭代过程，以及如何调节算法的超参数来优化求解过程。

当然，本文所选取的目标函数是一个简单的二次函数，实际使用中的目标函数可能更加复杂。因此，读者需要针对具体的问题进行一些调参和改进，以取得更好的优化效果。