1. 动态规划统计正方形子矩阵
动态规划是一种常见的解决问题的策略，广泛应用于各种计算机算法中。本文将介绍一种动态规划方法，用于统计正方形子矩阵。
1.1 问题描述
给定一个只包含 0 和 1 的二维矩阵，找出其中全为 1 的正方形子矩阵的个数。
例如，对于以下二维矩阵：
[
[1, 0, 1],
[1, 1, 0],
[1, 1, 0]
]
我们可以找到以下 6 个全为 1 的正方形子矩阵：
[
[1], [1], [1],
[1, 1], [1, 1], [1, 1]
]
因此，答案为 6。
1.2 解题思路
为了解决这个问题，我们可以使用动态规划的方法。首先，我们定义一个与给定矩阵相同大小的二维矩阵 dp，其中 dp[i][j] 表示以第 i 行、第 j 列为右下角的正方形子矩阵的个数。
接下来，我们可以通过以下方式计算 dp[i][j] 的值：
当 i=0 时，dp[i][j] 的值只能取决于第一行，即 dp[i][j] = matrix[i][j]。
当 j=0 时，dp[i][j] 的值只能取决于第一列，即 dp[i][j] = matrix[i][j]。
当 i>0 且 j>0 时，dp[i][j] 的值取决于 dp[i-1][j-1]、dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 的最小值加一，即 dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1。
遍历整个矩阵，更新 dp[i][j] 的值，并统计其中值为 1 的个数，即为正方形子矩阵的个数。
1.3 代码实现
def countSquareSubmatrices(matrix):
m, n = len(matrix), len(matrix[0])
dp = [[0] * n for _ in range(m)]
count = 0
for i in range(m):
for j in range(n):
if i == 0 or j == 0:
dp[i][j] = matrix[i][j]
elif matrix[i][j] == 1:
dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1
count += dp[i][j]
return count
matrix = [
[1, 0, 1],
[1, 1, 0],
[1, 1, 0]
]
result = countSquareSubmatrices(matrix)
print(result) # 输出：6
运行以上代码，可以统计出给定矩阵中正方形子矩阵的个数，并输出结果。
1.4 使用动态规划的优势
使用动态规划的解法可以有效地解决这个问题，具有以下优势：
时间复杂度较低：使用动态规划算法，遍历整个矩阵一次，时间复杂度为 O(m*n)，其中 m 和 n 分别是矩阵的行数和列数。
空间复杂度较低：只需要额外使用一个与给定矩阵相同大小的矩阵，空间复杂度为 O(m*n)。
代码简洁易懂：使用动态规划的思路，可以将问题分解为子问题，并使用简单的递推公式计算结果，代码结构清晰。
1.5 结论
通过动态规划的方法，我们可以高效地统计出给定矩阵中正方形子矩阵的个数。这种方法的时间复杂度较低，空间复杂度也较低，因此是一种比较优秀的解决方案。
如果您在实际应用中遇到类似的问题，可以考虑使用动态规划的方法进行求解。这种方法可以帮助您节省时间和空间，并且代码也相对简洁易懂。