动态规划统计正方形子矩阵

1. 动态规划统计正方形子矩阵

动态规划是一种常见的解决问题的策略，广泛应用于各种计算机算法中。本文将介绍一种动态规划方法，用于统计正方形子矩阵。

1.1 问题描述

给定一个只包含 0 和 1 的二维矩阵，找出其中全为 1 的正方形子矩阵的个数。

例如，对于以下二维矩阵：

[

  [1, 0, 1],
  [1, 1, 0],
  [1, 1, 0]
]

我们可以找到以下 6 个全为 1 的正方形子矩阵：

[

  [1],    [1],    [1],
  [1, 1], [1, 1], [1, 1]
]

因此，答案为 6。

1.2 解题思路

为了解决这个问题，我们可以使用动态规划的方法。首先，我们定义一个与给定矩阵相同大小的二维矩阵 dp，其中 dp[i][j] 表示以第 i 行、第 j 列为右下角的正方形子矩阵的个数。

接下来，我们可以通过以下方式计算 dp[i][j] 的值：

当 i=0 时，dp[i][j] 的值只能取决于第一行，即 dp[i][j] = matrix[i][j]。

当 j=0 时，dp[i][j] 的值只能取决于第一列，即 dp[i][j] = matrix[i][j]。

当 i>0 且 j>0 时，dp[i][j] 的值取决于 dp[i-1][j-1]、dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 的最小值加一，即 dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1。

遍历整个矩阵，更新 dp[i][j] 的值，并统计其中值为 1 的个数，即为正方形子矩阵的个数。

1.3 代码实现

def countSquareSubmatrices(matrix):

    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    count = 0
    
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            if i == 0 or j == 0:
                dp[i][j] = matrix[i][j]
            elif matrix[i][j] == 1:
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1
            
            count += dp[i][j]
    
    return count
matrix = [
    [1, 0, 1],
    [1, 1, 0],
    [1, 1, 0]
]
result = countSquareSubmatrices(matrix)
print(result)  # 输出：6

运行以上代码，可以统计出给定矩阵中正方形子矩阵的个数，并输出结果。

1.4 使用动态规划的优势

使用动态规划的解法可以有效地解决这个问题，具有以下优势：

时间复杂度较低：使用动态规划算法，遍历整个矩阵一次，时间复杂度为 O(m*n)，其中 m 和 n 分别是矩阵的行数和列数。

空间复杂度较低：只需要额外使用一个与给定矩阵相同大小的矩阵，空间复杂度为 O(m*n)。

代码简洁易懂：使用动态规划的思路，可以将问题分解为子问题，并使用简单的递推公式计算结果，代码结构清晰。

1.5 结论

通过动态规划的方法，我们可以高效地统计出给定矩阵中正方形子矩阵的个数。这种方法的时间复杂度较低，空间复杂度也较低，因此是一种比较优秀的解决方案。

如果您在实际应用中遇到类似的问题，可以考虑使用动态规划的方法进行求解。这种方法可以帮助您节省时间和空间，并且代码也相对简洁易懂。