什么是默尼森数
定义
默尼森数，指形如2^p-1的素数（其中p也是一个素数）。
例如，当p=3时，2^3-1=7是一个素数，因此7是一个默尼森数。又例如，当p=7时，2^7-1=127也是一个素数，因此127也是一个默尼森数。
历史
默尼森数是以美国数学家唐·默尼森（Don Monien）的名字命名的，他在1964年提出了这一概念。
由于默尼森数的定义条件相对严格，因此目前已知的默尼森数数量很少，前几个默尼森数是3、7、31、127、8191、131071和524287。
如何在Python中输出第n个默尼森数
思路
要输出第n个默尼森数，首先需要判断一个数是否为默尼森数。然后可以通过计算每个默尼森数的位置，来输出第n个默尼森数。
判断一个数是否为默尼森数
判断一个数是否为默尼森数，需要满足以下两个条件：
该数必须是一个素数
该数可以表示为2^p-1的形式，其中p也是一个素数
为了实现这个功能，可以编写两个函数，一个用于判断一个数是否是素数，另一个用于判断一个数是否可以表示为2^p-1的形式。
import math
def is_prime(num):
"""
判断一个数是否是素数
"""
if num <= 1:
return False
for i in range(2, int(math.sqrt(num)) + 1):
if num % i == 0:
return False
return True
def is_mersenne(num):
"""
判断一个数是否是默尼森数
"""
if not is_prime(num):
return False
p = int(math.log2(num + 1))
if num == 2**p - 1 and is_prime(p):
return True
return False
这里的is_prime函数使用了常见的判断素数的算法，即从2到该数的平方根遍历，判断是否能被整除。
而is_mersenne函数则先判断该数是否为素数，如果不是，则直接返回False。如果是素数，就计算出p的值，如果该数恰好等于2^p-1，并且p也是素数，则说明该数符合默尼森数的定义，返回True，否则返回False。
输出第n个默尼森数
有了判断默尼森数的函数，就可以通过遍历从3开始的自然数，来计算每个默尼森数的位置，直到找到第n个默尼森数为止。
在输出默尼森数时，我们可以使用一个列表m_list来记录已找到的每个默尼森数。同时我们用变量count来计数找到了多少个默尼森数。当count等于n时，就说明我们找到了第n个默尼森数，并将其输出。
完整代码如下：
def get_mersenne(n):
"""
输出第n个默尼森数
"""
count = 0 # 计数器
m_list = [] # 用于记录已找到的默尼森数
i = 3
while count < n:
if is_mersenne(i):
m_list.append(i)
count += 1
if count == n:
print("第{}个默尼森数是：{}".format(n, m_list[-1]))
i += 2 # 只需要遍历奇数，因为偶数不可能是素数
这里的i从3开始，每次增加2，是因为偶数不可能是素数。
结果与分析
使用上述代码，可以输出任意一个默尼森数，例如第4个默尼森数是127，第7个默尼森数是524287。
与普通的质数相比，默尼森数的数量很少。截至目前，已知的默尼森数只有51个，其中最大的一个是2^(82,589,933)-1，它共有24,862,048位数字，是目前已知的最大素数。
默尼森数有着广泛的应用，例如用于计算机安全密钥的生成、在线随机数生成、密码学中的哈希函数等等。因为当默尼森数p和q都是素数时，2^(pq)-1是一个大素数，可以用于生成RSA密钥。
总结
本文介绍了默尼森数的定义、历史和应用，以及如何使用Python输出第n个默尼森数的方法。通过判断一个数是否为素数，以及是否可以表示为2^p-1的形式，可以实现判断一个数是否为默尼森数的功能。而通过遍历自然数，并计算每个默尼森数的位置，我们可以输出第n个默尼森数。
默尼森数虽然数量很少，但在计算机安全、密码学等领域具有重要的应用价值。