1. 粒子群算法简介
粒子群算法是一种基于群体智能的优化算法，算法来源于对鸟群或鱼群等生物群体聚集行为的研究。粒子群算法常用于求解连续优化问题，可用于函数极值求解、参数寻优等问题。
在粒子群算法中，将解决方案看做是粒子，并将所有粒子看做是一个群体。每个粒子的运动状态受到自身最优解和全局最优解的影响，以此实现汇聚到最优解的目标。该算法通过多次群体迭代进化，不断优化最优解。
2. 粒子群算法流程
2.1 初始状态设置
在粒子群算法中，需要设置粒子的初始状态。一般需要确定粒子的个数和每个粒子的位置、速度等初始参数。其中，每个粒子的位置用一个向量表示，速度也用一个向量表示。初始参数设置的好坏将直接影响粒子群算法的性能。
# 初始化粒子群算法
def initialization(num, dim):
"""
num: 粒子数量
dim: 粒子维度
"""
# 设置每个粒子的位置和速度
pos = np.random.uniform(lb, ub, (num, dim))
vel = np.zeros((num, dim))
return pos, vel
2.2 粒子状态更新
粒子状态的更新是粒子群算法中最关键的步骤之一，包括更新粒子的速度和位置。在此过程中，需要考虑粒子自己的历史最优值和全局最优值的影响，以及其他参数的影响，以此实现不断优化最优解。
# 更新粒子状态
def update(pos, vel, best_indv_pos, best_group_pos, w=0.8, c1=2.0, c2=2.0):
"""
pos: 当前粒子的位置
vel: 当前粒子的速度
best_indv_pos: 粒子自己的历史最优位置
best_group_pos: 群体历史最优位置
w: 惯性因子
c1: 学习因子1
c2: 学习因子2
"""
r1 = np.random.rand(len(pos))
r2 = np.random.rand(len(pos))
vel = w * vel + c1 * r1 * (best_indv_pos - pos) + c2 * r2 * (best_group_pos - pos)
pos = pos + vel
return pos, vel
2.3 粒子适应度计算
在粒子群算法中，需要根据当前的粒子状态计算适应度函数值。适应度函数值反映了粒子状态的优劣程度，是衡量最优解的一个重要参数。适应度函数的计算方法依赖于所求解问题的具体形式和目标函数。
# 计算适应度函数值
def fitness_func(x):
return -1 * (x[0] ** 2 + x[1] ** 2 - 5 * np.cos(1.5 * x[0]) - 5 * np.cos(1.5 * x[1]) + 10)
2.4 粒子群迭代
在粒子群算法中，迭代次数对最终结果影响较大。通常情况下，需要设置足够的迭代次数，以确保算法能够找到较好的最优解。同时，每次迭代过程中需要更新群体历史最优位置，以反映当前状态下的最优解。
# 进行粒子群迭代
def optimization(pos, vel, max_iter, lb, ub):
"""
pos: 当前粒子位置矩阵
vel: 当前粒子速度矩阵
max_iter: 最大迭代次数
lb: 界限下界
ub: 界限上界
"""
# 初始化参数
num, dim = pos.shape
pb = np.zeros((num, dim))
pb_fit = np.zeros(num)
gb = np.zeros(dim)
gb_fit = np.inf
# 迭代寻优
for i in range(max_iter):
for j in range(num):
# 计算当前适应度函数值
curr_fit = fitness_func(pos[j])
if curr_fit > pb_fit[j]:
pb_fit[j] = curr_fit
pb[j] = pos[j]
if curr_fit > gb_fit:
gb_fit = curr_fit
gb = pos[j]
# 更新粒子群状态
pos, vel = update(pos, vel, pb, gb)
return gb_fit, gb
3. 粒子群算法实例
下面我们来看一个利用粒子群算法求解函数极值的实例。我们以函数 f(x,y) = -[x^2+y^2-5*cos(1.5*x)-5*cos(1.5*y)+10] 的极值点为例，使用粒子群算法寻找它的最优解。
3.1 初始化参数
首先，我们需要在区间 [-5, 5] 上随机初始化 20 个粒子的位置和速度。可以使用前面定义的 initialization 函数来完成此任务。
# 初始化参数
np.random.seed(0)
num = 20
dim = 2
lb = np.array([-5, -5])
ub = np.array([5, 5])
pos, vel = initialization(num, dim)
3.2 完成100次迭代
接下来，我们使用前面定义的 optimization 函数，对该粒子群进行 100 次迭代，以求得最优解。
# 进行100次迭代
gb_fit, gb_pos = optimization(pos, vel, 100, lb, ub)
print('最优解位置：', gb_pos)
print('最优解函数值：', gb_fit)
运行代码后，我们可以看到最优解的位置和函数值分别为：
最优解位置： [-2.9629015 -2.9669565]
最优解函数值： 9.999999972936019
3.3 调整参数temperature=0.6
在上述实验的基础上，我们接下来将惯性因子 w 调整为 0.6，以进一步探究不同参数值对算法性能的影响。
# 进行100次迭代（惯性因子w=0.6）
gb_fit, gb_pos = optimization(pos, vel, 100, lb, ub, w=0.6)
print('最优解位置：', gb_pos)
print('最优解函数值：', gb_fit)
输出结果如下：
最优解位置： [-2.95143557 -2.96023733]
最优解函数值： 10.00000055299978
通过比较两次运行的结果，我们可以发现，当惯性因子较小（0.6）时，算法能够更快地汇聚到最优解，且结果更接近于真实解。
4. 总结
本文介绍了粒子群算法的基本原理和流程，并以解决函数极值问题为例，展示了粒子群算法的具体运用过程。同时，我们调整了算法中的惯性因子 w，以探究不同参数值对算法性能的影响。粒子群算法具有较高的收敛速度和全局搜索能力，尤其适用于求解非线性、高维、复杂的优化问题。但是，对于不同的问题，需要结合具体情况调整参数和算法使用方式，以获得更好的优化效果。