1. 前言
因子分析是一种用于探索数据之间关系的统计技术。它的主要作用是从原始数据中提取潜在的因子，这些因子可以解释观察到的变异并简化数据集。在 Python 中，我们可以使用一些库来进行因子分析，包括 FactorAnalyzer 和 Prince 等。
2. 因子分析的基本概念
2.1 特征值、特征向量和协方差矩阵
在因子分析中，我们通常使用协方差矩阵来描述变量之间的关系。一个 n 个变量的数据集的协方差矩阵 C 是一个对称矩阵，其中第 （i，j） 个元素是变量 i 和变量 j 之间的协方差。
import numpy as np
# 创建一个随机数据集
data = np.random.normal(size=(100, 5))
# 计算协方差矩阵
cov_matrix = np.cov(data, rowvar=False)
print("协方差矩阵：")
print(cov_matrix)
协方差矩阵的特征值和特征向量是因子分析中的关键概念。特征向量是一个与该矩阵相乘后结果仍然是该向量的向量，而特征值是一个向量在与相应特征向量相乘时所产生的比例因子。
# 计算协方差矩阵的特征值与特征向量
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(cov_matrix)
print("特征值：")
print(eigvals)
print("特征向量：")
print(eigvecs)
2.2 提取因子
因子分析的主要目的是在降低原始数据维度的同时保留对数据变异的解释性。因此，我们需要通过提取一个较小的因子子集来最大化原始数据中的变异。通常可以使用以下两种方法来提取因子。
2.2.1 主成分分析
主成分分析是一种用于提取线性组合变量的方法，它可以将原始数据压缩到一个较小的子集中，同时最大限度地减少原始数据的信息丢失。主成分分析的主要思想是将变量转换为互相独立的线性组合，这些线性组合称为主成分。
from sklearn.decomposition import PCA
# 创建主成分分析对象并计算主成分
pca = PCA(n_components=3)
pca.fit(data)
print("主成分分析的方差解释率：")
print(pca.explained_variance_ratio_)
2.2.2 最大方差法
最大方差法是一种因子提取方法，它通过找到能解释大部分数据变异的因子来提取因子。最大方差法的基本思想是将变量转换为互相独立的线性组合，这些线性组合称为因子。
from factor_analyzer import FactorAnalyzer
# 创建因子分析对象并计算因子
fa = FactorAnalyzer(n_factors=3, method='ml', rotation='varimax')
fa.fit(data)
loadings = fa.loadings_
print("因子分析的因子贡献率：")
print(fa.get_factor_variance())
3. 因子旋转
因子旋转是因子分析中的一个重要步骤，它旨在使因子更具可解释性和实际意义。因子旋转的主要思想是通过旋转因子坐标轴来使因子更加简单、清晰，并且易于解释。一般来说，最常用的因子旋转方法是正交旋转和斜交旋转。
3.1 正交旋转
正交旋转是一种因子旋转方法，它通过将因子坐标轴与协方差矩阵的特征向量正交来实现。正交旋转可以使因子之间具有完全互斥的特性，这意味着每个因子只解释一部分数据，而且所有因子解释的数据总和等于原始数据的方差。
# 使用正交旋转进行因子分析
fa = FactorAnalyzer(n_factors=3, method='ml', rotation='varimax')
fa.fit(data)
loadings = fa.loadings_
print("因子分析的因子贡献率：")
print(fa.get_factor_variance())
3.2 斜交旋转
斜交旋转是一种因子旋转方法，它不限制因子之间互斥的特性，因此可以更好地适应某些数据类型。斜交旋转通常适用于具有实际意义的因子，例如心理学中的人格因子和社会科学中的文化价值因子。
from prince import FactorAnalysis
# 使用斜交旋转进行因子分析
fa = FactorAnalysis(n_components=3, n_iter=1000, rotation='oblimin')
fa = fa.fit(data)
loadings = fa.column_correlations(data)
print("因子分析的因子贡献率：")
print(np.var(loadings, axis=0))
4. 结语
因子分析是一种适用于探索数据之间关系的统计技术。通过因子分析，我们可以从原始数据中提取潜在的因子，这些因子可以解释观察到的变异并简化数据集。在 Python 中，我们可以使用一些库来进行因子分析，并且可以选择正交旋转或斜交旋转等因子旋转方法来优化结果。