1. 递归函数的定义和基本思想
递归函数是指在函数的定义中调用函数自身的方式，可以把一个大问题分解为若干个小问题，从而降低问题的难度。递归函数需要一个边界条件（base case），在满足边界条件时递归结束，从而避免无限递归。
递归函数的基本思想可以归纳为以下三点：
将原问题转化为规模更小的子问题；
通过调用自身来解决这个子问题；
当子问题的规模达到一定程度时，可以直接求解，避免无限递归。
2. 递归函数的应用
2.1. 阶乘函数
阶乘函数是递归函数的经典例子：
def factorial(n):
if n == 0:
return 1
else:
return n * factorial(n-1)
这里的 base case 是 n=0，当 n 等于 0 时，函数直接返回 1。当 n 大于 0 时，函数调用自身来计算 n 的阶乘。当 n 递归到 0 时，递归结束，并返回最终结果。
2.2. 斐波那契数列
斐波那契数列是一个递归函数的经典案例：
def fibonacci(n):
if n == 0:
return 0
elif n == 1:
return 1
else:
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
这里的 base case 是 n=0 和 n=1，当 n 等于 0 时，函数返回 0；当 n 等于 1 时，函数返回 1。当 n 大于 1 时，函数调用自身来计算斐波那契数列的第 n 项。当 n 递归到 0 或 1 时，递归结束，并返回最终结果。
2.3. 汉诺塔
汉诺塔是另一个经典的递归案例：
def hanoi(n, a, b, c):
if n == 1:
print(a, '->', c)
else:
hanoi(n-1, a, c, b)
print(a, '->', c)
hanoi(n-1, b, a, c)
这里的 base case 是 n=1，当只有一个盘子时，直接将盘子从 a 移动到 c 返回即可。当有多个盘子时，先将 n-1 个盘子从 a 移动到 b，然后将最后一个盘子从 a 移动到 c，最后再将 n-1 个盘子从 b 移动到 c。
3. 递归函数的优缺点
3.1. 优点
递归可以大大减少代码量和复杂度，使程序更加清晰易懂；
递归可以将大问题分解为若干个小问题，从而更方便解决问题；
递归可以保持代码的优雅和可读性。
3.2. 缺点
递归函数在调用自身时会耗费更多的时间和内存；
递归过程中可能会出现无限递归的情况，导致程序崩溃。
4. 优化递归函数
虽然递归函数有很多优点，但是在某些情况下，递归函数可能会出现性能问题。为了避免这种情况的发生，可以采用以下几个优化方法：
4.1. 尾递归
尾递归是指递归函数中最后一步是调用自身的情况。在使用尾递归时，最后一步调用 仅仅是一个简单的函数调用，不需要做任何其他处理。这样可以避免递归带来的函数调用栈占用过多的内存空间，从而提高函数的运行效率。
def factorial(n, a=1):
if n == 0:
return a
else:
return factorial(n-1, n*a)
上面这个例子中，使用了一个额外的参数 a 来记录递归过程中的中间结果。当递归到 n=0 时，将中间结果 a 返回即可。这种方式可以避免对函数调用栈的占用，从而提高函数的运行效率。
4.2. 缓存结果
递归过程中可能会出现大量的重复计算，可以使用缓存结果的方式将这些重复计算避免掉：
cache = {}
def fibonacci(n):
if n in cache:
return cache[n]
elif n == 0:
return 0
elif n == 1:
return 1
else:
result = fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
cache[n] = result
return result
上面这个例子中，使用一个字典 cache 来记录每个数的计算结果。在每次递归前先检查 cache 中是否已经计算过该数的值，如果已经计算过，则直接返回值；否则计算并将结果存入 cache 中。
5. 总结
递归函数是一种非常有用且常用的编程方式，在解决一些复杂问题和数据结构时非常高效。递归函数的基本思想是将原问题分解成多个子问题，然后递归调用函数来解决这些子问题，最终将所有的子问题求解后合并得到原问题的答案。
虽然递归函数有很多优点，但是在某些情况下，也会出现性能问题。为了避免这种情况，可以使用尾递归和缓存结果等技巧来进行优化。