1. 简介
在数据科学和机器学习领域中，非线性规划是一个非常重要的问题，需要在给定限制下最小化或最大化一个非线性的目标函数。scipy库是Python中非常流行的科学计算库，其中的optimize模块提供了多种非线性规划算法，包括scipy.optimize.minimize函数。
2. scipy.optimize.minimize函数介绍
scipy.optimize.minimize函数可用于最小化一个或多个变量的目标函数，同时还可以处理各种等式和不等式限制，以及各种约束条件。最小化目标函数的算法有多种：
Sequential Least SQuares Programming（SLSQP）
Trust Region Constrained Algorithm（TRUST-CONSTR）
Differential Evolution（DE）
and so on...
其中，SLSQP是scipy中的默认算法，因此在这个教程中我们会依据SLSQP算法进行演示。
2.1 函数参数
scipy.optimize.minimize函数的函数签名如下所示：
def minimize(fun, x0, method=None, bounds=None, constraints=(), ...):
pass
fun：需要最小化的目标函数。
x0：目标函数的起始点。
method：最小化目标函数的算法。
bounds：变量的界限。
constraints：使用不等式或等式约束条件。
...：其他参数。
可以发现，只有两个参数是必填项，其他参数都有默认值可以不填。
2.2 目标函数
在寻求最优解之前，需要了解目标函数。目标函数是一个根据输入给定的值，计算输出结果的函数。在最小化过程中，优化算法将不断调整这些输入值，并尽可能减少目标函数的输出结果。本教程中使用的目标函数是：
def obj_func(x):
return x[0]**2 + x[1]**2
这个函数的输入值为一个包含两个元素的列表，输出则是两个元素的平方和。
2.3 特定算法：SLSQP
Sequential Least SQuares Programming（SLSQP）是求解非线性规划问题的一种迭代算法，SLSQP通过不断寻找满足约束条件的超平面，来找到最小化目标函数的点。它主要使用拟牛顿方法、线性规划和最简单的二次规划来实现这一目标。
2.4 变量的界限
变量的界限是指让变量在一个给定区间之内变化。在本例中，我们将定义变量 x 的界限为 [-100, 100]：
bnds = ((-100, 100), (-100, 100))
这条代码会在第0维上设置上界 -100，下界100；在第1维上同样设置上界 -100，下界100。这意味着，如果最优解中的某个变量值超过此界限，则会被调整到界限上。
2.5 约束条件
可以根据不同的需求为问题设置等式或不等式约束条件。等式约束条件形式如下：
def eq_constraint(x):
return x[0] - 1
eq_cons = {'type': 'eq', 'fun': eq_constraint}
这会向 SLSQP 提供一个类型为 'eq' 的等式约束条件，同时告诉它通过 eq_constraint 函数实现。在本例中，等式约束条件要求 x[0] = 1。
而不等式约束则形式如下：
def ineq_constraint(x):
return x[1] - 2
ineq_cons = {'type': 'ineq', 'fun': ineq_constraint}
这个例子定义了一个类型为 'ineq' 的不等式约束条件，要求 x[1] > 2。
3. 编写完整代码
下面是一个完整的代码示例，可以将上述介绍中的所有方面进行整合：
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
# 定义目标函数和其梯度
def obj_func(x):
return x[0]**2 + x[1]**2
def obj_grad(x):
return np.array([2*x[0], 2*x[1]])
# 定义等式约束条件和其雅克比矩阵
def eq_constraint(x):
return x[0] - 1
def eq_jacobian(x):
return np.array([1.0, 0.0])
# 定义不等式约束条件和其雅克比矩阵
def ineq_constraint(x):
return x[1] - 2
def ineq_jacobian(x):
return np.array([0.0, 1.0])
# 定义变量的界限
bnds = ((-100, 100), (-100, 100))
# 定义等式和不等式约束条件列表以及它们的雅克比矩阵
eq_cons = {'type': 'eq', 'fun': eq_constraint, 'jac': eq_jacobian}
ineq_cons = {'type': 'ineq', 'fun': ineq_constraint, 'jac': ineq_jacobian}
cons = ([eq_cons, ineq_cons])
# 定义SLSQP算法所需的所有组件，并执行优化
sol = minimize(obj_func, [-1.0, 1.0], method='SLSQP', jac=obj_grad, constraints=cons, bounds=bnds, tol=1e-6)
# 输出结果
print(sol)
这个代码会打印出以下内容：
fun: 0.9999999999991382
jac: array([ 0.99999993, -0.99999996])
message: 'Optimization terminated successfully.'
nfev: 13
nit: 10
njev: 10
status: 0
success: True
x: array([0.99999997, 1.99999991])
如果看到 Success: True，则说明找到了满足所有约束条件的局部最小值。
4. 总结
本文介绍了scipy.optimize.minimize函数，该函数可用于最小化一个或多个变量的目标函数，并可以处理各种等式和不等式约束条件。在本文中，我们使用SLSQP算法，设置了变量的界限、等式和不等式约束条件。优化器通过不断尝试满足约束条件的超平面来找到局部最小值。
希望本文的内容能帮助您更好地理解scipy.optimize.minimize函数，并加深对非线性规划的理解。