检查矩阵是否对称的 JavaScript 程序

什么是对称矩阵？

在矩阵理论中，对称矩阵是指满足A^T=A的矩阵，其中A^T为A的转置，即矩阵A关于其主对角线对称。

检查矩阵是否对称的方法

方法一：简单对比

最简单的方法是通过对比A矩阵的转置和A本身来确定其是否对称。可以使用双重循环来完成对比：

function isSymmetric(A) {
  for (let i = 0; i < A.length; i++) {
    for (let j = 0; j < A.length; j++) {
      if (A[i][j] !== A[j][i]) {
        return false;
      }
    }
  }
  return true;
}

上面的代码中，我们遍历矩阵A的每个元素，如果其中任意一个元素A[i][j]不等于A[j][i]，那么该矩阵就不是对称矩阵，返回false。否则，该矩阵是对称的，返回true。

方法二：利用矩阵乘法的性质

我们可以利用矩阵乘法的性质，对矩阵进行变换，然后判断变换后的两个矩阵是否相等，从而判断原始矩阵是否对称。具体步骤如下：

首先，对矩阵A进行转置运算，得到矩阵B。

然后，将矩阵A和B分别乘以一个随机矩阵C。

最后，判断C^TAC是否等于C^-1BC。

如果等于，则矩阵A对称。代码如下所示：

function isSymmetric(A) {
  // 生成随机矩阵C
  let C = [];
  for (let i = 0; i < A.length; i++) {
    C[i] = [];
    for (let j = 0; j < A.length; j++) {
      C[i][j] = Math.random() * 10;
    }
  }
  // 判断C^TAC是否等于C^-1BC
  let CTAC = matrixMul(matrixMul(matrixTrans(C), A), C);
  let CIBC = matrixMul(matrixMul(matrixInverse(C), B), C);
  return matrixEqual(CTAC, CIBC);
}
// 矩阵相乘
function matrixMul(A, B) {
  let C = [];
  for (let i = 0; i < A.length; i++) {
    C[i] = [];
    for (let j = 0; j < B[0].length; j++) {
      let sum = 0;
      for (let k = 0; k < B.length; k++) {
        sum += A[i][k] * B[k][j];
      }
      C[i][j] = sum;
    }
  }
  return C;
}
// 矩阵转置
function matrixTrans(A) {
  let B = [];
  for (let i = 0; i < A[0].length; i++) {
    B[i] = [];
    for (let j = 0; j < A.length; j++) {
      B[i][j] = A[j][i];
    }
  }
  return B;
}
// 矩阵求逆
function matrixInverse(A) {
  let n = A.length;
  let B = [];
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    B[i] = [];
    for (let j = 0; j < n; j++) {
      B[i][j] = i === j ? 1 : 0;
    }
  }
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    let maxRow = i;
    for (let j = i + 1; j < n; j++) {
      if (Math.abs(A[maxRow][i]) < Math.abs(A[j][i])) {
        maxRow = j;
      }
    }
    if (maxRow !== i) {
      [A[i], A[maxRow]] = [A[maxRow], A[i]];
      [B[i], B[maxRow]] = [B[maxRow], B[i]];
    }
    for (let j = i + 1; j < n; j++) {
      let factor = A[j][i] / A[i][i];
      for (let k = i; k < n; k++) {
        A[j][k] -= factor * A[i][k];
      }
      for (let k = 0; k < n; k++) {
        B[j][k] -= factor * B[i][k];
      }
    }
  }
  for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
    for (let j = 0; j < i; j++) {
      let factor = A[j][i] / A[i][i];
      for (let k = 0; k < n; k++) {
        B[j][k] -= factor * B[i][k];
      }
    }
  }
  for (let i = 0; i < n; i++) {
    let factor = 1 / A[i][i];
    for (let j = 0; j < n; j++) {
      B[i][j] *= factor;
    }
  }
  return B;
}
// 判断矩阵是否相等
function matrixEqual(A, B) {
  for (let i = 0; i < A.length; i++) {
    for (let j = 0; j < A.length; j++) {
      if (Math.abs(A[i][j] - B[i][j]) > 1e-6) {
        return false;
      }
    }
  }
  return true;
}

上面的代码中，我们定义了四个函数：matrixMul用来计算矩阵的乘积，matrixTrans用来计算矩阵的转置，matrixInverse用来计算矩阵的逆，matrixEqual用来判断两个矩阵是否相等。然后，我们根据上面讲述的方法来判断矩阵是否对称。

总结

本篇文章介绍了两种方法来检查矩阵是否对称。第一种方法是简单对比，通过遍历矩阵的每个元素来判断矩阵是否对称，代码实现比较简单。第二种方法是利用矩阵乘法的性质，对矩阵进行变换，然后判断变换后的两个矩阵是否相等，从而判断原始矩阵是否对称。该方法相对比较复杂，但更加准确。

在实际编程中，我们可以根据具体的需求选择不同的方法来检查矩阵是否对称。