在算法的世界里，动态规划是一种强大的解决问题的方法。它常用于优化可以分阶段进行的小问题，以最终达到解决整个问题的目的。在LeetCode上，动态规划的题目种类丰富，挑战性十足。本篇文章将探讨动态规划的第九部分，着重分析几道经典题目和解法。
动态规划的基本概念
动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种将复杂问题分解为简单子问题的策略。与递归不同，动态规划通过记忆化的去存储中间结果，从而避免重复计算，提升效率。动态规划主要包括两个步骤：
定义状态
首先需要明确DP状态的定义，通常为了便于理解，我们会使用一个数组dp[]来表示某个状态下的结果。例如，在求斐波那契数列时，可以定义dp[i]为第i个斐波那契数。
状态转移方程
接下来，需要设计一个状态转移方程，描述如何从已知状态推导出未知状态。对于斐波那契数列，状态转移方程为：
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];经典动态规划题目分析
以下是几道LeetCode中经典的动态规划题目，适合深入理解该算法的实现。
1. 最长上升子序列
题目描述：给定一个整数数组，求出最长上升子序列的长度。
状态定义：设dp[i]为以nums[i]结尾的最长上升子序列的长度。
状态转移方程：
dp[i] = max(dp[j] + 1) 其中 0 <= j < i 且 nums[j] < nums[i];最终结果为max(dp)的值。
int lengthOfLIS(int[] nums) {
if (nums.length == 0) return 0;
int[] dp = new int[nums.length];
Arrays.fill(dp, 1);
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (nums[j] < nums[i]) {
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
}
}
}
return Arrays.stream(dp).max().getAsInt();
}
2. 零钱兑换
题目描述：给定不同面额的硬币和一个总金额，求组合数，返回能组合出总金额的最小硬币数。
状态定义：dp[i]表示组成金额i所需的最小硬币数。
状态转移方程：
dp[i] = min(dp[i - coin] + 1) 其中 coin 为可用硬币。int coinChange(int[] coins, int amount) {
int[] dp = new int[amount + 1];
Arrays.fill(dp, amount + 1);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= amount; i++) {
for (int coin : coins) {
if (i - coin >= 0) {
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
}
}
}
return dp[amount] == amount + 1 ? -1 : dp[amount];
}
动态规划的复杂度分析
动态规划的时间复杂度一般由两个部分决定：状态数和每个状态的时间复杂度。对于前面提到的最长上升子序列，时间复杂度为O(N^2)，而对于零钱兑换，时间复杂度也是O(N*M)，其中N为目标金额，M为硬币种类数。
总结
通过以上题目的分析，我们可以看到动态规划在解决最优化问题中的巨大潜力。无论是简单的子序列问题，还是组合优化问题，掌握动态规划都能帮助我们在解决问题时事半功倍。希望通过LeetCode的练习，大家能更深入地理解动态规划这门经典算法。继续努力，相信在动态规划的道路上，你会有更大的收获！