1. 什么是优化的最长路径
最长路径是图论中一个经典的问题。给定一张有向图，其中每条边都带有一个权值，汇点是一个指定的顶点，要求从源点到汇点的路径上所有边的权值之和最大。在优化的最长路径问题中，还要求每个顶点只能经过一次。
1.1 NP完全性质的定义
在计算机科学中，NP是“非确定性多项式时间”的简称。NP问题是指那些可以在多项式时间内验证一个解的正确性的问题，但无法在多项式时间内求解的问题。NP完全性质是指一类最难求解的NP问题，这些问题在NP问题中处于最高层次。
1.2 优化的最长路径是NP完全的证明
为了证明优化的最长路径是NP完全的，我们可以从两个方面考虑：
证明优化的最长路径是NP问题
证明优化的最长路径是NP完全问题
1.2.1 证明优化的最长路径是NP问题
我们可以很容易地验证优化的最长路径问题中给出的路径是否满足要求，如果满足，就可以在多项式时间里验证一个解的正确性。因此，优化的最长路径问题是NP问题。
1.2.2 证明优化的最长路径是NP完全问题
我们可以将优化的最长路径问题转化为有向图哈密顿路径问题，从而证明其是NP完全问题。
有向图哈密顿路径问题是指在一张有向图中是否存在一条路径，使得该路径依次经过图中每个顶点一次且仅一次。我们可以通过以下步骤将优化的最长路径问题转化为有向图哈密顿路径问题：
对于原图G=(V,E)，构造一个新图G'=(V',E')，其中V'={s,t}∪V，E'={e∈E|e的权值为1}∪{(s,v)|v∈V}∪{(v,t)|v∈V}
在新图G'中寻找一条从s到t的哈密顿路径
得到的哈密顿路径就是优化的最长路径
因此，我们可以把优化的最长路径问题转化为哈密顿路径问题，因此优化的最长路径问题是NP完全问题。
2. 优化的最长路径问题的解法
由于优化的最长路径问题是NP完全问题，因此它并没有多项式时间的解法。但是，在实际问题中，我们可以使用一些近似算法或启发式算法来寻找一个解。
2.1 近似算法
近似算法是指在多项式时间内找到与最优解之间相对误差在一定范围内的解。在优化的最长路径问题中，我们可以使用下面的近似算法：
对于每个顶点v，从v出发的边的权值中取最大值maxv
设e1,e2,...,en是从s出发的边，按照非递增的顺序排列，设P为包含t的路径，初始为空
对于每个i∈{1,2,...,n}，将ei加入P中，如果加入ei后图中出现环，就从P中删去环上的所有边
最终得到的P就是一个近似解
该算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为顶点数。该算法的近似比为2，即它找到的解的长度不超过最优解的两倍。
2.2 启发式算法
启发式算法是指采用某些规则或策略来寻找解的算法。在优化的最长路径问题中，我们可以使用以下启发式算法：
对于每个顶点v，从v出发的边的权值中取最大值maxv
设e1,e2,...,en是从s出发的边，按照非递增的顺序排列，设P为包含t的路径，初始为空
对于每个i∈{1,2,...,n}，将ei加入P中，如果加入ei后图中出现环，就从P中删去环上的所有边，反复执行直到没有环为止
将P中每个顶点按照下标排序得到序列v1,v2,...,vn，对于序列中相邻的顶点vi和vi+1，设最大边为ei，则将ei的权值加倍加入vi+1到vn的所有顶点中，最后得到的序列就是一个解
该算法的时间复杂度为O(n2)，其中n为顶点数。该算法的解法并不总是最优解，但通常它的效果比近似算法要好。
3. 总结
优化的最长路径问题是一个经典的NP完全问题，在理论计算中它并没有多项式时间的解法。在实际问题中，我们可以使用一些近似算法或启发式算法来寻找一个解。选择合适的算法，可以在尽可能短的时间内求解问题并获得较优的结果。