1. 二项式系数表简介
二项式系数是计算组合数的一种方法，它衡量了从n个不同元素中取出k个元素的不同方案数，记为C(n,k)。二项式系数表是展示这些系数的一张表格。在计算组合问题时，计算机程序中需要频繁地用到二项式系数表。
2. C语言实现二项式系数表
2.1 程序思路
C语言实现二项式系数表的基本思路是使用递归求解C(n,k)。根据组合数的定义，有：C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)。因此可以通过递归调用C(n-1,k)和C(n-1,k-1)来求解C(n,k)。
在使用递归求解时，需要注意边界条件。当k等于0或n等于k时，二项式系数为1。这两个条件是递归调用的结束条件。
2.2 代码实现
#include <stdio.h>
int binom(int n, int k)
{
if(k == 0 || n == k) //边界条件
{
return 1;
}
else
{
return binom(n-1, k) + binom(n-1, k-1); //递归调用
}
}
int main()
{
int i, j, n;
scanf("%d", &n);
for(i = 0; i <=n; i++) //外层循环控制行数
{
for(j = 0; j <= i; j++) //内层循环控制列数
{
printf("%d ", binom(i, j)); //输出二项式系数
}
printf("\n"); //换行
}
return 0;
}
以上代码实现了一个简单的二项式系数表，用户输入一个整数n，程序会输出n行的二项式系数表。例如，当n=5时，程序输出的结果为：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
二项式系数表的输出结果与递归的求解方式密切相关。因此，递归算法既简洁又直观，但它的效率相对较低。
3. 程序优化
3.1 记忆化递归
由于递归方式计算会重复计算多次，消耗时间较长，因此我们可以采用一种记忆化递归的方法，优化程序。
#include <stdio.h>
#define MAXN 100
int mem[MAXN][MAXN] = {0}; //定义存储数组mem，全部初始化为0
int binom(int n, int k)
{
if(k == 0 || n == k) //边界条件
{
mem[n][k] = 1; //在递归结束时把计算结果存储到mem数组中
return mem[n][k];
}
else if(mem[n][k] != 0) //当mem数组中已经有值时，直接返回mem[n][k]，不再继续计算
{
return mem[n][k];
}
else //递归调用
{
mem[n][k] = binom(n-1, k) + binom(n-1, k-1); //把递归调用的结果存储到mem数组中
return mem[n][k];
}
}
int main()
{
int i, j, n;
scanf("%d", &n);
for(i = 0; i <=n; i++) //外层循环控制行数
{
for(j = 0; j <= i; j++) //内层循环控制列数
{
printf("%d ", binom(i, j)); //输出二项式系数
}
printf("\n"); //换行
}
return 0;
}
这段代码的核心思想是将计算结果存储到数组mem中。在每次递归调用函数时，首先判断mem[n][k]中是否已经存在值，如果已经存在直接返回该值，不再重复计算。这种方法可以显著提高计算的效率。
3.2 动态规划
另一种优化算法是采用动态规划，它的时间复杂度是O(n^2)，远远小于递归的O(2^n)。功能实现与3.1的记忆化递归类似，都将计算结果存储到一个数组中，但是使用动态规划的方法，顺序计算每个位置上的值。具体实现如下：
#include <stdio.h>
#define MAXN 100
int binom[MAXN][MAXN] = {0};
int main()
{
int i, j, n;
scanf("%d", &n);
for(i = 0; i <=n; i++) //外层循环控制行数
{
binom[i][0] = 1;
for(j = 1; j <= i; j++) //内层循环控制列数
{
binom[i][j] = binom[i-1][j-1] + binom[i-1][j]; //计算当前位置的值
printf("%d ", binom[i][j]); //输出二项式系数
}
printf("\n"); //换行
}
return 0;
}
该程序定义了二维数组binom来存储计算结果，使用嵌套循环控制行和列。外层循环控制行数，内层循环控制列数。在计算一个元素时，需要使用上一行的两个元素，因此需要在每行的开头先设置一定的初始值binom[i][0]=1。由于计算二项式系数表是根据上一行的计算结果得到，因此行数要小于等于n。
4. 总结
本文介绍了C语言实现二项式系数表的两种方法：递归和动态规划。递归代码简洁，方便理解，但是时间复杂度高；动态规划代码稍微繁琐些，但时间复杂度明显降低。在实际应用时，根据计算规模的大小，选择不同的算法。
此外，记忆化递归也是一种有效的优化算法，它可以通过使用一个数组来存储递归的结果，减少计算时间。在实际应用中，可以根据自己的需求来选择不同的算法，实现高效的计算。