1. 什么是DFA
DFA，即Deterministic Finite Automaton（确定有限状态自动机），是指在计算机科学中，一种抽象机器模型，被广泛应用于编译原理、文本处理、网络协议等领域。
1.1 DFA的概念
DFA由五个要素组成：状态集、输入字母表、转移函数、初始状态和接受状态集。
状态集： 指由有限个状态组成的集合。
输入字母表： 指由有限个字符组成的集合。
转移函数： 指从一个状态到另一个状态的映射关系，用来描述DFA状态之间的转移过程。
初始状态： 指DFA开始时所处的状态。
接受状态集： 指最终停留在其中的状态，表示输入符合该DFA所描述的规则。
DFA可被描述为一个五元组(M,S,I,T,F)，其中：
M表示DFA，S表示状态集，I表示输入字母表，T表示从一个状态到另一个状态的转移函数，F表示接受状态集。
对于一个DFA，它可以接受某个输入串，当且仅当该串所经过的状态序列形成一个接受状态集的成员。否则，如果该串所经过的状态序列没有形成一个接受状态集的成员，则该串不被该DFA所接受。
2. 构建DFA的方法
对于一个给定的语言，可以通过以下步骤来构造一个DFA：
确定语言中所有可能的字符串形式；
构建字符串形式的集合作为DFA的输入字母表；
确定语言中所有可能的状态以及状态转移关系；
定义初始状态和接受状态集。
3. 构建以'a'开头和以'a'结尾的DFA的程序
假设要构建以'a'开头和以'a'结尾的DFA，则可以按照以下步骤构造：
确定语言中所有可能的字符串形式；
构建字符串形式的集合作为DFA的输入字母表；
确定语言中所有可能的状态以及状态转移关系；
定义初始状态和接受状态集。
3.1 确定语言中所有可能的字符串形式
假设要构建的DFA要求输入的字符串以'a'开头和以'a'结尾，则语言中所有可能的字符串形式为：
L={aw1a|w1∈{a,b}*}
其中，{a,b}*表示a和b的任意组合，即可以为空，也可以是由a和b组成的任意长度字符串。
3.2 构建字符串形式的集合作为DFA的输入字母表
根据语言中所有可能的字符串形式，可以构建输入字母表：
Σ={a,b}
3.3 确定语言中所有可能的状态以及状态转移关系
对于语言中所有可能的字符串形式，可以从左往右逐个字符地考虑。
如果当前字符为'a'，则只有两种状态，一个是当前字符为'a'，另一个是当前字符不为'a'。
如果当前字符为'b'，则只有一种状态，即当前字符不为'a'。
在DFA中，状态之间的转移关系用转移函数T来描述。假设当前状态为s，当前输入字符为i，则T(s, i)表示从状态s经过输入字符i后，进入到的新状态。
在该DFA中，可以用以下方式来描述状态和转移函数：
S={s0,s1,s2}
T(s0,a)=s1；T(s0,b)=s0；
T(s1,a)=s1；T(s1,b)=s2；
T(s2,a)=s2；T(s2,b)=s2；
其中，s0为初始状态，s1和s2为接受状态。
3.4 定义初始状态和接受状态集
根据确定的语言中所有可能的状态以及状态转移关系，可以定义初始状态和接受状态集：
初始状态：s0
接受状态集：{s1,s2}
4. 构建DFA的代码实现
下面是以'a'开头和以'a'结尾的DFA的代码实现：
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int main()
{
string s;
int state=0; //从状态0开始
cin>>s;
for(int i=0;i<s.size();i++)
{
if(state==0&&s[i]=='a') state=1;
else if(state==1&&s[i]=='a') state=1;
else if(state==1&&s[i]=='b') state=2;
else if(state==2&&s[i]=='a') state=2;
else state=0;
}
if(state==1||state==2) cout<<"Yes"<
else cout<<"No"<
return 0;
}
该代码中使用了一个变量state来记录当前所处的状态。根据输入字符以及当前状态的不同，可以通过if语句来决定下一个状态。
5. 总结
DFA是一种有限状态自动机，可以用来描述具有确定性的语言。构建DFA的过程中，需要明确语言中所有可能的字符串形式、构建输入字母表、确定所有可能的状态以及状态转移关系，并定义初始状态和接受状态集。通过以上步骤，可以构建出符合要求的DFA，从而判断输入的字符串是否符合该DFA所描述的规则。