二叉树中等腰三角形的数量

1. 简介

二叉树是一种重要的数据结构，在计算机科学中广泛应用。二叉树中的节点最多有两个子节点，每个节点的子节点均为有序的，我们称为左子节点和右子节点。本文将讨论如何在一个二叉树中，找出所有等腰三角形的数量。

2. 什么是等腰三角形

首先，我们需要定义什么是等腰三角形。等腰三角形是指一个三角形，其中两边长度相等。

struct Point {

    int x, y;
    Point() {}
    Point(int x, int y) :x(x), y(y) {}
};
struct Triangle {
    Point a, b, c;
    Triangle() {}
    Triangle(Point a, Point b, Point c) :
        a(a), b(b), c(c) {}
    bool isIsosceles() const {
        return a.y == b.y && b.y == c.y // 是不是共线
            && ((a.x <= b.x && b.x <= c.x) || (a.x >= b.x && b.x >= c.x)); // 是不是等腰
    }
};
int count_isosceles(const Triangle triangles[], int n) {
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (triangles[i].isIsosceles()) {
            count++;
        }
    }
    return count;
}

3. 思路

3.1 遍历二叉树

我们需要遍历二叉树，找出所有的节点。

struct TreeNode {

    int val;
    TreeNode* left;
    TreeNode* right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};
void traversal(TreeNode* root, vector& nodes) {
    if (root == NULL) { return; }
    nodes.push_back(root);
    traversal(root->left, nodes);
    traversal(root->right, nodes);
}

3.2 构造三角形

我们可以把节点的值看成二维空间中的坐标，然后构造三角形。

Triangle make_triangle(TreeNode* a, TreeNode* b, TreeNode* c) {

    Point p1(a->val, 0);
    Point p2(b->val, 1);
    Point p3(c->val, 0);
    return Triangle(p1, p2, p3);
}
int count_triangle(TreeNode* a, TreeNode* b, TreeNode* c, const vector& nodes) {
    Triangle triangle = make_triangle(a, b, c);
    Triangle* triangles = new Triangle[nodes.size() * (nodes.size() - 1) * (nodes.size() - 2) / 6];
    int len = 0;
    for (int i = 0; i < nodes.size(); i++) {
        for (int j = i + 1; j < nodes.size(); j++) {
            for (int k = j + 1; k < nodes.size(); k++) {
                Triangle cur = make_triangle(nodes[i], nodes[j], nodes[k]);
                if (cur.isIsosceles()) {
                    triangles[len++] = cur;
                }
            }
        }
    }
    int cnt = count_isosceles(triangles, len);
    delete[] triangles;
    return cnt;
}

3.3 寻找三个节点

对于每个节点，我们需要找到它的左右子节点，并且从三个节点中构造三角形。

int count(TreeNode* root) {

    if (root == NULL) { return 0; }
    vector nodes;
    traversal(root, nodes);
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < nodes.size(); i++) {
        if (nodes[i]->left && nodes[i]->right) {
            cnt += count_triangle(nodes[i], nodes[i]->left, nodes[i]->right, nodes);
        }
    }
    return cnt;
}

4. 结论

现在我们可以知道一个二叉树中等腰三角形的数量。这个算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n是节点的数量。这个算法可能会超时，因此我们可以考虑优化。我们可以先用哈希表存储坐标相同的点，然后在遍历二叉树时使用哈希表，减少构造三角形的时间。