1.斐波那契数与10的倍数关系
斐波那契数是指从0开始，每个数都是它前两个数的和，即：
F(0) = 0
F(1) = 1
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
斐波那契数列的前几项为：
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584…
现在我们要判断斐波那契数列中第n项是否是10的倍数。那么首先我们需要知道的是10的倍数的定义：
10的倍数是指能被10整除的自然数。也就是说，一个数是10的倍数，当且仅当它的个位数为0。
因此，我们只需要判断斐波那契数列第n项的个位数是否为0，即可判断其是否是10的倍数。
2.朴素算法
朴素的算法是先计算出斐波那契数列中第n项的值，然后判断其个位数是否为0。代码如下：
int fibonacci(int n)
{
if (n <= 1)
return n;
else
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);
}
bool is_fibonacci_multiple_of_ten(int n)
{
int fn = fibonacci(n);
return fn % 10 == 0;
}
这个算法的时间复杂度是O(2^n)，显然非常低效。因为斐波那契数列是递归定义的，因此在计算第n项时需要计算前面所有的项，这样重复计算的部分非常多。
3.高效算法
3.1 斐波那契数列循环法
斐波那契数列有一个很有趣的事实，就是只要知道前两项，就可以通过迭代的方式计算后面的所有项。因此，可以使用循环的方式计算斐波那契数列。
int fibonacci(int n)
{
if (n <= 1)
return n;
int fn_2 = 0, fn_1 = 1, fn;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
fn = fn_1 + fn_2;
fn_2 = fn_1;
fn_1 = fn;
}
return fn;
}
这个算法的时间复杂度是O(n)，比朴素算法优秀很多。
3.2 以10为周期的性质
接下来我们来看斐波那契数列的性质。我们可以看到，斐波那契数列中每隔5个数就会出现一个数字的个位数是0的情况。也就是说，如果一个斐波那契数是10的倍数，那么它的下标一定满足下列条件之一：
F(5n)
F(5n+4)
证明如下。我们可以先证明一个简单的结论，即F(n)和F(n+1)的最大公约数是1。其证明是数学归纳法，假设F(k)和F(k+1)的最大公约数是1，则有：
gcd(F(k), F(k+1)) = gcd(F(k+1), F(k)-F(k+1)) = gcd(F(k+1), F(k%F(k+1)))
由于F(k) >= F(k+1)，所以k % F(k+1) < F(k+1)，因此F(k+1)和k%F(k+1)的最大公约数是1，因此gcd(F(k), F(k+1)) = 1。
由于F(n+2) = F(n) + F(n+1)，因此F(n+2)和F(n)的最大公约数是1。由于F(n+5) = F(n+3) + F(n+4) = (F(n+1) + F(n+2)) + (F(n+2) + F(n+3))，因此F(n+5)和F(n+2)的最大公约数是1。继续推导可以得到F(5n)和F(5n+1)的最大公约数是1，F(5n+1)和F(5n+2)的最大公约数是1，F(5n+2)和F(5n+3)的最大公约数是1，F(5n+3)和F(5n+4)的最大公约数是1，F(5n+4)和F(5n+5)的最大公约数是1。
因此，如果一个斐波那契数是10的倍数，那么它的下标一定满足下列条件之一：
F(5n)是10的倍数
F(5n+4)是10的倍数
这个性质非常有用，因为它告诉我们只需要计算出F(5n)和F(5n+4)的值，就可以判断F(5n)和F(5n+4)是否是10的倍数。而计算F(5n)和F(5n+4)的值可以通过循环法高效计算。
代码如下：
bool is_fibonacci_multiple_of_ten(int n)
{
if (n <= 1)
return false;
if (n % 5 == 0 || n % 5 == 4)
{
int fn_2 = 0, fn_1 = 1, fn;
for (int i = 2; i <= n; i += 5)
{
fn_2 = fn_1 + fn;
if (fn_2 % 10 == 0)
return true;
fn_1 = fn_2 + fn_1;
if (fn_1 % 10 == 0)
return true;
fn = fn_1 + fn_2;
if (fn % 10 == 0)
return true;
}
return false;
}
else
{
int fn_2 = 0, fn_1 = 1, fn = 1;
for (int i = 5; i < n % 5; i++)
{
fn = fn_1 + fn_2;
fn_2 = fn_1;
fn_1 = fn;
}
return fn % 10 == 0;
}
}
这个算法的时间复杂度是O(log2n)，比循环法还要更加高效。
4.总结
本文介绍了三种方法来判断斐波那契数列中第n项是否是10的倍数。朴素算法是计算出第n项的值，然后判断其个位数是否为0，时间复杂度是O(2^n)。循环法是通过循环来计算斐波那契数列中的每一项，时间复杂度是O(n)。以10为周期的性质是通过数学归纳法推导得到的，可以利用这个性质来高效计算斐波那契数列中第n项是否是10的倍数，时间复杂度是O(log2n)。因此，我们可以采取最后一种方法来高效地解决这个问题。