N个数的乘积的因子个数-猿码集

1. 引言

在数学中，一个数的因数是能够整除这个数的正整数。给定 N 个正整数，计算它们的乘积，求这个乘积的因子个数。

对于一个数 N，其因子个数可以用其所有质因子的次数求出。因此，问题转化为如何解析 N 个数的乘积，并求出每个质因子的次数。在这篇文章中，我们将讨论如何解决这个问题，并提供多种不同的解决方案。

2. 暴力解法

2.1 解法思想

第一种解决方案是使用暴力算法。具体而言，我们可以首先计算这 N 个数的乘积，然后枚举所有小于等于这个乘积的正整数，看看有多少个数是乘积的因子。

2.2 代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> v(n);
    int product = 1; // 计算 N 个数的乘积
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> v[i];
        product *= v[i];
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= product; i++) {
        if (product % i == 0) {
            ans++;
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

2.3 时间复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(N * M)，其中 M 表示 N 个数的乘积。该算法显然无法通过本题，因为当 N 的范围很大时，计算 N 个数的乘积可能会溢出。

3. 质因数分解

3.1 解法思想

第二种解决方案是使用质因数分解。具体而言，我们将 N 个数分别都进行质因数分解，然后统计所有质因子的个数，最终根据质因子的个数计算因子个数。

例如，对于一个数 N = 2^3 * 3^2 * 5^1，其因子个数为 (3+1) * (2+1) * (1+1) = 24。

3.2 代码实现

#include <iostream>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
void factorize(int n, map<int, int> &factors) {
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        while (n % i == 0) {
            factors[i]++;
            n /= i;
        }
    }
    if (n > 1) {
        factors[n]++;
    }
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> v(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> v[i];
    }
    map<int, int> factors;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        factorize(v[i], factors);
    }
    int ans = 1;
    for (auto [_, cnt] : factors) { // C++17 特性：Structured bindings
        ans *= (cnt + 1);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

3.3 时间复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(M * sqrt(M))，其中 M 表示 N 个数的乘积。可以证明，当 M 的最大质因数不超过 sqrt(M) 时，该算法的时间复杂度是最优的。

4. 统计质数次数

4.1 解法思想

第三种解决方案是使用统计每个数的质数次数。具体而言，我们将每个数中的质因数次数相加，得到所有质因数的总次数，然后根据质因数的总次数计算因子个数。

4.2 代码实现

#include <iostream>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
void count_primes(int n, map<int, int> &cnt) {
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        while (n % i == 0) {
            cnt[i]++;
            n /= i;
        }
    }
    if (n > 1) {
        cnt[n]++;
    }
}
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> v(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> v[i];
    }
    map<int, int> cnt;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        count_primes(v[i], cnt);
    }
    int ans = 1;
    for (auto [_, c] : cnt) { // C++17 特性：Structured bindings
        ans *= (c + 1);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

4.3 时间复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(N * sqrt(M))，其中 M 表示 N 个数的乘积，即所有数的乘积。同样地，该算法的时间复杂度建立在 M 的最大质因数不超过 sqrt(M) 的基础上。

5. 结语

在本文中，我们提供了三种不同的解决方案来解决 N 个数的乘积的因子个数问题。首先，我们讨论了暴力算法的实现和时间复杂度，了解到该算法无法通过本题。接着，我们介绍了质因数分解和统计质数次数的两种解决方案，并分析了它们的时间复杂度。最后，我们可以发现，质因数分解和统计质数次数都具有线性时间复杂度，因此是较优的解决方案。

N个数的乘积的因子个数