1. 简介
启发式算法指的是一类基于经验或者启发式知识的算法，它们通常用于应对那些在计算机科学中算法的复杂性类无法得到克服的问题。启发式算法的优化技巧是一种重要的算法优化手段，C++语言作为一种常用的算法实现语言，也需要掌握这些技巧来提升算法的效率。
2. 常见的启发式算法
2.1 贪心算法
贪心算法是指在每个阶段选择当前状态下最优的解决方案，从而导致全局最优解。贪心算法的实现比较简单，但是也有缺点：很难证明能否得到全局最优解，可能会陷入局部最优解。
以下是一段贪心算法的示例代码：
void greedy_algorithm(int n, const int* values, const int* weights, int capacity) {
struct item {
int value, weight;
bool operator<(item& other) const {
return (double)value / weight > (double)other.value / other.weight;
}
};
std::vector- items;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
items.push_back({ values[i], weights[i] });
}
std::sort(items.begin(), items.end());
int cur_weight = 0;
double cur_value = 0.0;
for (const item& item : items) {
if (cur_weight + item.weight > capacity) {
// 无法再添加物品，直接返回
break;
}
cur_weight += item.weight;
cur_value += item.value;
}
std::cout << "total weight: " << cur_weight << std::endl;
std::cout << "total value: " << cur_value << std::endl;
}
该代码实现了一个以贪心算法为基础的背包问题，其中对物品进行了按性价比降序排序，依次加入背包中。这段代码的核心是结构体定义中的小于号操作符重载，用于对物品进行排序。
2.2 模拟退火算法
模拟退火算法是一种基于概率的全局优化方法，它模拟了物质从高温状态到低温状态的退火过程，降低温度时采用Metropolis准则来接受新的状态。模拟退火算法在全局寻找最优解时比贪心算法更加全面，但是计算量也会更大，时间复杂度高。
以下是一段模拟退火算法的示例代码：
double acceptance_probability(double energy, double new_energy, double temperature) {
if (new_energy < energy) {
return 1.0;
}
return exp((energy - new_energy) / temperature);
}
double simulated_annealing(const std::function& fun, double x0, double init_temp, double min_temp, int max_iter) {
std::mt19937 rng(std::random_device{}());
std::uniform_real_distribution unif(0.0, 1.0);
double x = x0;
double energy = fun(x);
double temperature = init_temp;
for (int i = 0; i < max_iter; ++i) {
double dx = unif(rng);
dx = (dx - 0.5) * 2.0 * (temperature / init_temp);
double new_x = x + dx;
double new_energy = fun(new_x);
if (acceptance_probability(energy, new_energy, temperature) > unif(rng)) {
x = new_x;
energy = new_energy;
}
temperature = temperature * 0.9;
if (temperature < min_temp) {
break;
}
}
return x;
}
该代码实现了一个一元函数的最小值搜索，采用模拟退火算法进行优化，其中 acceptance_probability 函数用于根据温度计算接受新状态的概率，simulated_annealing 函数则是模拟退火算法的主体实现。
3. 启发式算法的优化技巧
3.1 预处理
预处理是指在算法运行前对数据进行处理，以提高算法的执行效率。预处理可以包括数据结构的构建、特定数据的缓存等，常用的数据结构有哈希表、二叉搜索树、图等。这些数据结构可以存储较大量的数据，并且提供较快的访问速度，从而提高算法的效率。
以下是一个处理单词频率统计数据的预处理示例代码：
std::vector word_frequency_preprocess(const std::vector& words) {
std::unordered_map freq_map;
std::vector res;
for (const std::string& word : words) {
if (freq_map.count(word)) {
freq_map[word]++;
}
else {
freq_map[word] = 1;
}
}
for (const std::string& word : words) {
res.push_back(freq_map[word]);
}
return res;
}
该代码对输入的单词进行了预处理，统计每个单词出现的频次，返回一个整数向量。
3.2 迭代加深
迭代加深是指在搜索算法中，通过逐步增加搜索的深度来降低算法的时间复杂度。与传统的深度优先搜索算法相比，迭代加深算法可以在有限的时间内有效地搜索到目标节点，缩小了搜索空间，避免了搜索深度过大导致的性能问题。
以下是一段采用迭代加深算法的八数码问题的示例代码：
int dfs(std::vector> board, int step, int max_step, int depth) {
if (step + depth > max_step) {
return -1;
}
if (is_goal_board(board)) {
return step;
}
int res = -1;
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
int new_x = blank_x + dx[i];
int new_y = blank_y + dy[i];
if (new_x >= 0 && new_x < 3 && new_y >= 0 && new_y < 3) {
std::swap(board[blank_x][blank_y], board[new_x][new_y]);
int new_step = dfs(board, step + 1, max_step, heuristic_distance(board));
if (new_step > 0 && (res == -1 || new_step < res)) {
res = new_step;
}
std::swap(board[blank_x][blank_y], board[new_x][new_y]);
}
}
return res;
}
int ida_star(std::vector> board) {
int max_step = heuristic_distance(board);
for (int depth = 0; ; ++depth) {
int step = dfs(board, 0, max_step, depth);
if (step >= 0) {
return step;
}
if (step == -1 && max_step == INT_MAX) {
return -1;
}
}
}
该代码实现了使用迭代加深算法解决八数码问题，并采用启发函数来支持预测每个节点的距离。
3.3 剪枝
剪枝是指在搜索树中删去某些不必要的节点，以减少搜索空间并提高算法的执行效率。常用的剪枝技巧有 alpha-beta 剪枝、双向搜索、局部限制（例如历史启发式值）等。
以下是一个使用 alpha-beta 剪枝的小例子：
// 返回该节点的估价函数值
int evaluate(std::vector> board) {
int res = 0;
// ...
return res;
}
int alphabeta(std::vector> board, int depth, bool is_max, int alpha, int beta) {
if (depth == 0) {
return evaluate(board);
}
int res = is_max ? INT_MIN : INT_MAX;
for (int i = 0; i < 4; ++i) {
std::vector> new_board = move_board(board, i);
if (!new_board.empty()) {
int val = alphabeta(new_board, depth - 1, !is_max, alpha, beta);
if (is_max) {
res = std::max(res, val);
alpha = std::max(alpha, res);
}
else {
res = std::min(res, val);
beta = std::min(beta, res);
}
if (beta <= alpha) {
break;
}
}
}
return res;
}
该代码采用 alpha-beta 剪枝的方式，计算出搜索树的下一层分支，并在搜索过程中实现了 alpha-beta 剪枝，涉及到 alpha 和 beta 两个变量，以及是否为最大值节点 is_max 参数。
4. 结论
启发式算法的优化技巧是应对复杂问题的有效方法，C++语言作为一种高效的算法实现语言，掌握这些技巧可以提高算法的效率。本文介绍了一些常见的启发式算法，例如贪心算法、模拟退火算法等，并结合具体代码示例讲解了预处理、迭代加深、剪枝等启发式算法优化技巧，读者在实际编程中可据此加以运用。