C程序查找形成回文的最小插入次数

什么是回文

回文是指正向和反向拼写相同的单词、词组、数字或其他字符序列。例如，"racecar"就是一个回文。

问题背景

给定一个字符串，通过插入最少的字符使它变成一个回文序列。例如，对于字符串"AACECAAAA"，所需的最小插入次数为2，结果为"AAACECAAAA"。

动态规划求解

定义状态

我们可以定义一个二维数组dp来表示从i到j的最少插入次数，其中i和j分别表示字符串的起始位置和结束位置。

状态转移方程

如果s[i] == s[j]，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1]。

如果s[i] != s[j]，那么dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1。

边界条件

对于单个字符，它本身就是一个回文序列，因此dp[i][i] = 0。

代码实现

下面是使用动态规划求解的代码实现：

int minInsertions(string s) {

    int n = s.size();
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));
    for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
        for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
            if (s[i] == s[j]) {
                dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
            } else {
                dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[0][n - 1];
}

按照题目要求进行修改

按照题目要求，最小插入次数不应该返回，而是应该返回插入后的回文字符串。在动态规划中加入一个二维数组path，用于记录每个状态的路径。

代码实现

下面是修改后的代码实现：

string minInsertions(string s) {

    int n = s.size();
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));
    vector<vector<string>> path(n, vector<string>(n, ""));
    for (int i = n - 2; i >= 0; --i) {
        for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
            if (s[i] == s[j]) {
                dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
                path[i][j] = s[i] + path[i + 1][j - 1] + s[j];
            } else {
                if (dp[i + 1][j] < dp[i][j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j] + 1;
                    path[i][j] = s[i] + path[i + 1][j] + s[i];
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;
                    path[i][j] = s[j] + path[i][j - 1] + s[j];
                }
            }
        }
    }
    return path[0][n - 1];
}

总结

这篇文章介绍了使用动态规划算法求解最小插入次数的方法，同时还对题目要求进行了修改，返回了插入后的回文字符串。使用动态规划算法可以在O(n^2)的时间复杂度内解决该问题。