什么是订婚数？
订婚数是指一个正整数的各个数字的乘积与它的各个数字的和之和，如果等于另一个正整数，则这两个数就是一对订婚数。
订婚数的历史和发现
订婚数的概念最早出现在 1864 年，是由英国数学家 J. J. Sylvester 引入的。他在关于数论的一篇文章中提到了两个整数的订婚数。但订婚数得以在数学家间流传，是得益于戈德巴赫的推广，在他写的某篇文章中，他声称订婚数是他1972年发现的，然而这个说法远非事实。
订婚数的研究引发了许多有趣的数学问题，例如订婚数的分布规律，订婚数的数量等。此外，研究订婚数也可以应用于密码学等领域。
如何找到一对订婚数？
暴力枚举法
最直接的方法是暴力枚举法，即遍历所有的正整数对，分别计算它们的各个数字的乘积和之和，如果相等，则它们就是一对订婚数。以下是暴力枚举法的代码示例：
#include <stdio.h>
int main(){
int i, j, num1, num2, sum1, sum2, product1, product2;
for(i=1;i<=10000;i++){
product1=1,sum1=0;
for(num1=i;num1>0;num1/=10){
sum1+=num1%10;
product1*=num1%10;
}
for(j=i+1;j<=10000;j++){
product2=1,sum2=0;
for(num2=j;num2>0;num2/=10){
sum2+=num2%10;
product2*=num2%10;
}
if(product1==sum2&&product2==sum1){
printf("%d和%d是一对订婚数\n",i,j);
}
}
}
return 0;
}
该算法的时间复杂度为 O(n^2logn)，显然，该算法对于大规模的数值处理速度较慢。
数学优化方法
除了暴力枚举法，还有一些数学优化方法可以加快找到订婚数的速度，例如从唯一分解定理的角度入手，将数进行分解后再进行计算，或者粗略估算订婚数的大小，从而减少时间复杂度。以下是一种数学方法：
假设我们已知了一对订婚数，它们分别为 a 和 b，则有：
$\left\{
\begin{aligned}
a=\sum\limits_{i=1}^{m}a_{i}\\
ab=\prod\limits_{i=1}^{m}a_{i}\\
b=\sum\limits_{i=1}^{m}b_{i}\\
ab=\prod\limits_{i=1}^{m}b_{i}
\end{aligned}
\right.$
又因为 a < b，则 $\prod_{i=1}^{m}a_{i} \leq a^{m}$，$\prod_{i=1}^{m}b_{i} \leq ((b-1)/m)^{m}$.
于是可以得到一个上界估计：a^{m} \lt ((b-1)/m)^{m}，即 a < (b-1)/(m^{\frac{1}{m}}-1)。通过这个上界的估计，就可以让枚举的范围大大减小。以下是代码示例：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main(){
int max=60,n=2,i,j=1,k,a,b;
int prime[25]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97};
while(j){
b=(int)pow(max,1.0/(n-1));
for(i=n-1;i<=b;i++){
k=i,max=0,a=1;
while(k){
if(k%2) a*=prime[n-k];
k/=2;
}
for(k=a+1;k<5000000/2;k++){
if(k*a>5000000) break;
if((k*a-1)%(a-1)==0){
max=(k*a-1)/(a-1);
break;
}
}
if(max!=0){
printf("%d和%d是一对订婚数\n",max*k-max-a*a+k,a);
}
}
n++,max=(int)pow(5000000,1.0/n);
if(max==1) j=0;
}
return 0;
}
结语
通过对订婚数的研究，我们可以深入了解数学中的各种奇妙问题。掌握上述方法可以帮助我们更加高效地寻找订婚数，同时也可以应用到其他的问题中去。