C++中的Boruvka算法用于最小生成树

什么是最小生成树

最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是指在一个加权连通图中，找到一个树形子图，使得这棵树包含了原图中的所有节点，并且边的权值和最小。MST的应用非常广泛，例如在电力输配网、通信网络等领域都有着广泛的应用。

什么是Boruvka算法

算法步骤

Boruvka算法（Boruvka's algorithm）是一种贪心算法，用于求解最小生成树的。算法从每个节点开始，每轮选择最小的出边连接另一个连通块，最终形成最小生成树。算法的大致步骤如下：

初始化所有节点都属于独立的连通块。

对每个连通块，选择一条最小权重的边连接到另一个连通块。

不断重复步骤2，直到图变成一棵树。

算法实现

我们将使用C++进行Boruvka算法的实现。在实现之前，我们需要定义一个结构体来表示图中的节点：

struct Edge {
    int src, dest, weight;
};
struct Node {
    int parent, rank;
};
struct Graph {
    int V, E;
    Edge* edge;
    Node* node;
};

其中，Edge结构体代表着边，包括了起点、终点和权重；Node结构体代表着节点，包括了父节点和秩；Graph结构体代表了图，包括了节点数、边数、边集合和节点集合。

接下来，我们就可以开始实现Boruvka算法了。首先，我们需要定义一个helper函数，用来找到节点的根节点。这里使用了路径压缩的方式优化了查找过程：

int find(Node* nodes, int i) {
    if (nodes[i].parent != i) {
        nodes[i].parent = find(nodes, nodes[i].parent);
    }
    return nodes[i].parent;
}

接下来，我们需要定义一个Union函数，用来合并两个连通块，这里使用了按秩合并和路径压缩的方式来优化了合并过程：

void Union(Node* nodes, int x, int y) {
    int parent_x = find(nodes, x);
    int parent_y = find(nodes, y);
    if (nodes[parent_x].rank < nodes[parent_y].rank) {
        nodes[parent_x].parent = parent_y;
    } else if (nodes[parent_x].rank > nodes[parent_y].rank) {
        nodes[parent_y].parent = parent_x;
    } else {
        nodes[parent_y].parent = parent_x;
        nodes[parent_x].rank++;
    }
}

现在，我们需要将边按照权重从小到大排序，并且不断选择边来进行合并：

void BoruvkaMST(Graph* graph) {
    int V = graph->V;
    Edge* edge = graph->edge;
    Node* nodes = graph->node;
    int* cheapest = new int[V];
    for (int i = 0; i < V; i++) {
        cheapest[i] = -1;
    }
    int num_trees = V;
    int MST_weight = 0;
    while (num_trees > 1) {
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            nodes[i].parent = i;
            nodes[i].rank = 0;
        }
        for (int i = 0; i < E; i++) {
            int src = edge[i].src;
            int dest = edge[i].dest;
            int weight = edge[i].weight;
            int parent_src = find(nodes, src);
            int parent_dest = find(nodes, dest);
            if (parent_src != parent_dest) {
                if (cheapest[parent_src] == -1 || weight < edge[cheapest[parent_src]].weight) {
                    cheapest[parent_src] = i;
                }
                if (cheapest[parent_dest] == -1 || weight < edge[cheapest[parent_dest]].weight) {
                    cheapest[parent_dest] = i;
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            if (cheapest[i] != -1) {
                int src = edge[cheapest[i]].src;
                int dest = edge[cheapest[i]].dest;
                int parent_src = find(nodes, src);
                int parent_dest = find(nodes, dest);
                if (parent_src != parent_dest) {
                    MST_weight += edge[cheapest[i]].weight;
                    Union(nodes, parent_src, parent_dest);
                    num_trees--;
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i < V; i++) {
            cheapest[i] = -1;
        }
    }
    std::cout << "MST weight: " << MST_weight << std::endl;
}

总结

Boruvka算法是一种贪心算法，用于求解最小生成树的。其时间复杂度为O(ElogV)，其中E是边数，V是节点数。相对于Prim和Kruskal算法，Boruvka算法对于稠密图有着更好的效率。但是Boruvka算法的实现比较复杂，需要使用按秩合并和路径压缩来进行优化。