1. 前言
连接3个点所需的水平或垂直线段的数量是一个数学问题，属于计算几何的范畴，在计算机图形学中也常常会用到。在本文中，我们将探讨这个问题以及相应的算法。
2. 简单情况
2.1 连接三个点的直接方法
连接三个点最直接的方法是直接画出三条线段，两两相连。
// 三点相连的直接方法
void connectPoints(Point a, Point b, Point c) {
drawLine(a, b);
drawLine(b, c);
drawLine(c, a);
}
该算法需要画出三条线段，复杂度为 O(1)。
2.2 中点法
将三个点连接起来，可以形成一个三角形。我们可以求出三角形的三个中点，然后再连接这三个中点，即可得到三个点的联接线段。
// 三点相连的中点法
void connectPoints(Point a, Point b, Point c) {
Point p1((a + b) / 2);
Point p2((b + c) / 2);
Point p3((c + a) / 2);
drawLine(p1, p2);
drawLine(p2, p3);
drawLine(p3, p1);
}
该算法需要求三个中点，复杂度为 O(1)。
2.3 旋转法
另一种方法是先连接任意两个点，然后以其中一条线段为轴，将另一条线段沿逆时针方向旋转 60 度，得到第三条线段。我们可以使用平移和旋转矩阵计算出新的点的坐标。
// 三点相连的旋转法
void connectPoints(Point a, Point b, Point c) {
// 先画出两个点的线段
drawLine(a, b);
// 以 ab 为轴，沿逆时针方向旋转 60 度，得到 c
Point p1 = (b - a) * polar(1.0, 1 * 2 * acos(-1) / 3) + a;
drawLine(b, p1);
drawLine(p1, a);
}
该算法需要进行旋转和平移计算，复杂度为 O(1)。
2.4 最优连线法
最优连线法是指连线最少的方法，它需要将三个点按照一定的规律排序。
这里我们采用以下方法排序：
选择任意一个点做为第一个点。
计算剩下两个点与第一个点的距离，选择距离较短的点，做为第二个点。
根据余下一个点与两个已经选择的点的距离，选出最短距离的点，做为第三个点。
// 三点相连的最优连线法
void connectPoints(Point a, Point b, Point c) {
// 根据距离排列三个点
Point p1 = a, p2 = b, p3 = c;
if ((b - a).length() > (c - a).length()) swap(p2, p3);
if ((c - b).length() > (c - a).length()) swap(p1, p2);
drawLine(p1, p2);
drawLine(p2, p3);
}
该算法需要进行距离计算，复杂度为 O(1)。
3. 复杂情况
3.1 N 个点相连
当连接的点的数目增加到 N 个时，最优连线法的思路是类似的。我们需要使用贪心算法来求出最短的连接距离。
具体来说，我们假设点集 S 中已经有了一些点，假设已经连接的点集是 J，没有连接的点集是 I。
我们需要从 I 中选取一点 p，使得连线 (q, p) 的长度最小，其中 q 是 J 中已经连接的点中到 p 距离最近的那个点。选出 p 后，我们将其加入到 J 中，同时计算新的连线的长度。然后将 p 移动到已连接点的集合中。
// N 个点的最优连线法
void connectPoints(vector& points) {
vector J, I = points;
J.push_back(I[0]); I.erase(I.begin());
while (!I.empty()) {
Point best = I[0], target = J[0];
double dist = (best - target).length();
for (int i = 1; i < I.size(); i++) {
for (int j = 0; j < J.size(); j++) {
double d = (I[i] - J[j]).length();
if (d < dist) {
dist = d;
best = I[i];
target = J[j];
}
}
}
drawLine(best, target);
I.erase(find(I.begin(), I.end(), best));
J.push_back(best);
}
}
该算法需要进行距离计算，因此算法的复杂度为 O(N^2)。
3.2 曼哈顿距离优化
在上面的算法中，我们采用了欧几里得距离来计算两点之间的距离。当点的数目较大时，计算欧几里得距离的开销非常大，因为使用了开根号运算。为了优化这一过程，我们可以考虑改用曼哈顿距离。
曼哈顿距离的计算方式为：两点之间的曼哈顿距离等于它们的横坐标距离和纵坐标距离之和。它的定义如下：
d(P,Q) = |p_1 - q_1| + |p_2 - q_2|
在计算曼哈顿距离时，我们不需要使用开根号运算，因此运算速度比欧几里得距离更快。
在 N 个点相连的问题中，我们可以根据曼哈顿距离来判断是否更新最优解。
// N 个点的曼哈顿距离优化
void connectPoints(vector& points) {
vector J, I = points;
J.push_back(I[0]); I.erase(I.begin());
while (!I.empty()) {
Point best = I[0], target = J[0];
double dist = (best - target).manhattan_length();
for (int i = 1; i < I.size(); i++) {
for (int j = 0; j < J.size(); j++) {
double d = (I[i] - J[j]).manhattan_length();
if (d < dist) {
dist = d;
best = I[i];
target = J[j];
}
}
}
drawLine(best, target);
I.erase(find(I.begin(), I.end(), best));
J.push_back(best);
}
}
这样做的复杂度仍然是 O(N^2)。
4. 总结
本文介绍了连接三个点所需的水平或垂直线段的数量的问题，以及相应的算法。对于三个点的情况，我们可以直接画出三条线段，两两相连；也可以根据三角形的三个中点来连接三条线段；还可以使用平移和旋转矩阵计算出连接三个点的线段；最后，我们介绍了最优连线法，它需要计算点之间的距离，时间复杂度为 O(N^2)。
对于 N 个点的情况，我们可以使用贪心算法来求出最短的连接距离。在实现中，我们可以采用曼哈顿距离来判断是否更新最优解，这样可以提高算法的效率。