1.题目描述
给定一个长度为n（n<=10^6）的整数数组，计算其中长度为k（k<=n）的连续子数组，其平均值大于给定数组的中位数。
2.中位数的求解
2.1 什么是中位数
中位数，是指将一个数列按照大小排列，取中间位置的数作为统计特征的方法。对于有限的数列来说，可以通过把所有观察值高低排序后找出正中间的一个作为中位数。如果观察值有偶数个，则中位数不唯一，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数。
2.2 求解中位数的方法
求解中位数有多种方法，其中比较常用的方法有以下三种：
（1）排序法：
将数组进行排序，取中间位置的数作为中位数。
（2）分治法：
利用分治思想，将数组一分为二，不断递归求解，直到找出中位数为止。
（3）堆排序法：
利用堆的性质，将数据流分成两部分，较小的一部分放到大根堆中，较大的一部分放到小根堆中，根据两部分的大小关系确定中位数。
2.3 中位数的代码实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000005];
int n;
int find_median()
{
sort(a + 1, a + n + 1);
if (n % 2 == 0)
return (a[n / 2] + a[n / 2 + 1]) / 2;
else
return a[n / 2 + 1];
}
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> a[i];
cout << "数组的中位数为：" << find_median() << endl;
return 0;
}
3.解题思路
计算长度为k的子数组，其平均值超过给定数组的中位数，可以采用滑动窗口的思想来解决。具体来讲，每次移动窗口，判断窗口中元素的平均值是否大于中位数即可。由于窗口是连续的，所以不需要重新计算平均值，而是根据移动窗口时添加和删除的元素来更新平均值，这样就可以达到时间复杂度为O(n)的目的。
3.1 窗口的移动
为了方便描述，我们将长度为k的子数组称为窗口，因为窗口是连续的，所以对于窗口的移动可以采用双指针的方法，即设置left和right两个指针指向窗口的左右两端，每次移动窗口时，将left和right同时向右移动一个单位，并根据添加和删除的元素来更新窗口的平均值。
3.2 平均值的更新
假设当前窗口的平均值为avg，添加一个元素x后，窗口内的元素个数变为k+1，则新的平均值可以通过如下公式来计算：
new_avg = (avg * k + x) / (k+1)
同样，删除一个元素y后，窗口内的元素个数变为k-1，则新的平均值可以通过如下公式来计算：
new_avg = (avg * k - y) / (k-1)
由于k不能为0，所有在计算新的平均值时必须先判断k的值是否为0。另外，计算平均值时要注意精度丢失的问题，可以将分子和分母分别乘以k+1或k-1，避免除法运算。
4.代码实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 5;
int n, k;
int a[N];
double mid;
double average[N];
bool check(double x)
{
double sum = 0;
for (int i = 1; i <= k; ++i)
sum += a[i] - x;
if (sum >= 0)
return true;
double min_sum = 0;
double pre_sum = 0;
for (int i = k + 1; i <= n; ++i)
{
sum += a[i] - x;
pre_sum += a[i - k] - x;
min_sum = min(min_sum, pre_sum);
if (sum >= min_sum)
return true;
}
return false;
}
int main()
{
cin >> n >> k;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
cin >> a[i];
average[i] = a[i] - mid;
}
double l = -1e6, r = 1e6;
while (r - l > 1e-5)
{
mid = (l + r) / 2.0;
if (check(mid))
l = mid;
else
r = mid;
}
printf("%.3f\n", l);
return 0;
}
5.总结
本文介绍了如何计算长度为k的子数组，其平均值超过给定数组的中位数。通过求解中位数和滑动窗口的方法，可以有效地解决此类问题。本文中提到的代码可以参考，但是在实际使用中还需要考虑一些细节问题，如输入格式、输出格式、时间复杂度等。