1.递归程序打印所有小于N的仅由数字1或3组成的数字
在计算机科学中，递归是一个经常使用的编程技巧，递归程序可以让程序员不使用循环结构达到循环的效果。
下面的问题可以使用递归程序解决：打印所有小于N的仅由数字1或3组成的数字。例如，当N=10时，需要输出1, 3, 和9。
1.1 递归程序思路
编写递归程序时需要考虑两个方面：
问题的基本情况
将问题转化成一个或多个子问题，递归地求解子问题，并将子问题的解合并得到原问题的解。
对于本问题，我们可以将问题转化成两个子问题：
所有小于(N-1)的仅由数字1或3组成的数字。
如果N本身是仅由数字1或3组成的数字，则输出N。
该递归程序思路可以用下面的伪代码表示：
void printNumbers(int N)
{
if (N > 0)
{
printNumbers(N-1);
if (isOneOrThree(N))
{
cout << N << '\n';
}
}
}
bool isOneOrThree(int N)
{
while (N > 0)
{
int digit = N % 10;
if (digit != 1 && digit != 3)
{
return false;
}
N /= 10;
}
return true;
}
1.2 递归程序解释
在上面的伪代码中，函数isOneOrThree判断一个数字是否仅由数字1或3构成。该函数在递归函数printNumbers的内部定义，并且该函数使用了while循环结构，而不是递归函数。
函数printNumbers的第一行代码检查N是否大于0。如果N为0或负数，则函数返回，不进行任何操作。
否则，函数通过递归调用自己（即调用printNumbers(N - 1)）解决了所有小于(N-1)的仅由数字1或3组成的数字。当然，如果N=1或3，函数printNumbers(N - 1)不会输出任何内容，不过也无伤大雅。这是问题的基本情况。
接下来，如果N本身是仅由数字1或3组成的数字，则输出N。函数isOneOrThree可以完成该任务。这是将问题分解成子问题（即函数isOneOrThree），并将子问题的解合并得到原问题的解（即输出N）的过程。
1.3 递归程序样例
下面是一个使用C++编写的递归程序，可以打印所有小于N的仅由数字1或3组成的数字。
#include <iostream>
using namespace std;
bool isOneOrThree(int N);
void printNumbers(int N)
{
if (N > 0)
{
printNumbers(N-1);
if (isOneOrThree(N))
{
cout << N << '\n';
}
}
}
bool isOneOrThree(int N)
{
while (N > 0)
{
int digit = N % 10;
if (digit != 1 && digit != 3)
{
return false;
}
N /= 10;
}
return true;
}
int main()
{
int N = 10;
cout << "Numbers less than " << N << " consisting of only 1s and 3s:\n";
printNumbers(N);
return 0;
}
输出结果为：
Numbers less than 10 consisting of only 1s and 3s:
1
3
9
2.递归程序的时间复杂度
递归程序的时间复杂度是调用子函数的次数乘以单次调用所需时间。下面我们将分别分析递归程序打印所有小于N的仅由数字1或3组成的数字的时间复杂度。
2.1 时间复杂度分析（函数printNumbers）
函数printNumbers调用了自身N次，且每次调用函数printNumbers的时间复杂度是O(1)。因此，函数printNumbers的时间复杂度是O(N)。
2.2 时间复杂度分析（函数isOneOrThree）
函数isOneOrThree的时间复杂度是O(log N)，其中log N是数字N的位数。
函数isOneOrThree使用了while循环，遍历了数字N的每一位。因为一个正整数N的位数是log10N+1（例如，当N=1000时，N的位数是4，即log101000+1=4），所以函数isOneOrThree的时间复杂度是O(log N)。
3.优化递归程序以提高性能
递归程序的时间复杂度可能很高，因此，优化递归程序以提高性能是一种很好的编程实践。
3.1 递归终止条件
递归程序的终止条件可以影响程序的性能。如果递归程序的终止条件在递归深度很大的时候才被满足，程序的时间复杂度将变得很高。
在本问题中，我们可以改进递归终止条件。例如，我们可以改变函数isOneOrThree的定义，使其成为递归函数，并且在采用位运算检查N的每一位时同时检查N的值是否是1或3。这样，当N本身不是由数字1或3构成时，立即返回false，而不是等到检查完N的每一位之后才返回false。这种改进可以大大减少递归深度，提高程序的性能。
下面是改进后的函数isOneOrThree的C++代码：
bool isOneOrThree(int N)
{
if (N == 1 || N == 3)
{
return true;
}
else if (N <= 0 || (N % 10 != 1 && N % 10 != 3))
{
return false;
}
else
{
return isOneOrThree(N / 10);
}
}
3.2 缓存子问题的解
递归程序可能会重复计算相同的子问题，导致程序效率低下。为了避免这种情况，我们可以使用缓存（或称为“记忆化”）技术，缓存子问题的解。
在本问题中，我们可以建立一个数组cache，用于缓存已经计算过的数字。缓存技术的使用可以大大减少递归程序的执行时间，但是需要占用额外的存储空间。
下面是改进后的函数printNumbers的C++代码：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
bool isOneOrThree(int N);
void printNumbers(int N, vector<bool>& cache)
{
if (N > 0 && !cache[N])
{
printNumbers(N-1, cache);
if (isOneOrThree(N))
{
cout << N << '\n';
}
cache[N] = true;
}
}
bool isOneOrThree(int N)
{
if (N == 1 || N == 3)
{
return true;
}
else if (N <= 0 || (N % 10 != 1 && N % 10 != 3))
{
return false;
}
else
{
return isOneOrThree(N / 10);
}
}
int main()
{
int N = 10;
vector<bool> cache(N+1, false);
cout << "Numbers less than " << N << " consisting of only 1s and 3s:\n";
printNumbers(N, cache);
return 0;
}
输出结果与之前的程序相同：
Numbers less than 10 consisting of only 1s and 3s:
1
3
9
4.总结
递归程序是一个常见的编程实践技巧，在本文中，我们使用递归程序打印所有小于N的仅由数字1或3组成的数字。
在程序编写过程中，我们学到了递归程序的思路，如何分解问题成子问题，并将子问题的解合并得到原问题的解。
我们还分析了递归程序的时间复杂度，包括函数printNumbers和函数isOneOrThree的时间复杂度分析。
最后，我们对递归程序进行了优化，包括递归终止条件和缓存技术的使用，以提高程序的性能。
递归程序毫无疑问是一个非常强大的工具，然而，当递归层数很深时，它的性能很容易变得很差。在实践中，适当的情况下应该优先选择迭代程序，而不是递归程序。