计算两个给定字符串中所有字符交替放置的方式
将两个字符串中的字符交替放置，可以看作是一个排列组合问题。我们需要找到所有可能的排列组合方式，统计其数量。在本文中，我们将介绍如何计算这个数量。
1. 排列组合的基本概念
在组合数学中，排列数与组合数是两个基本的概念。
排列是指从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素，考虑它们的顺序，共有多少种不同的结果。
排列数用符号 $A_n^m$ 表示，其计算公式为：
$$ A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!} $$
其中，符号 $n!$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$。
组合是指从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素，不考虑它们的顺序，共有多少种不同的结果。
组合数用符号 $C_n^m$ 或 $\binom{n}{m}$ 表示，其计算公式为：
$$ C_n^m = \binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!} $$
可以看出，组合数等于排列数除以 $m!$，即 $C_n^m = A_n^m / m!$。
2. 求解字符串交替排列组合的数量
假设我们有两个字符串 $S_1$ 和 $S_2$，分别有 $n_1$ 和 $n_2$ 个字符。我们需要将它们的字符按照交替的方式排列组合，即以 $S_1$ 和 $S_2$ 中的字符交替构成新的字符串 $S$。
我们可以把 $S$ 中 $S_1$ 的字符配对标记为 $1$，$S_2$ 的字符配对标记为 $0$。例如，当 $S_1$ 的第 $i$ 个字符和 $S_2$ 的第 $j$ 个字符在 $S$ 中配对时，我们将它们标记为 $1$，并将 $i$ 和 $j$ 分别存储在两个数组 $idx_1$ 和 $idx_2$ 中。这样，一个字符串交替排列组合的方案就可以表示为一个由 $0$ 和 $1$ 组成的序列 $B = (b_1, b_2, \cdots, b_n)$ 和两个下标数组 $idx_1$ 和 $idx_2$ 。
我们设 $A = \{1, 2, \cdots, n\}$ 表示 $S$ 中字符的编号集合，将交替排列组合方案看作是 $A$ 分成两个子集 $B_1$ 和 $B_2$ 的方案，其中 $B_1$ 包含所有标记为 $1$ 的字符编号，$B_2$ 包含所有标记为 $0$ 的字符编号。根据集合论知识，$A$ 分成两个子集 $B_1$ 和 $B_2$ 的方案数为 $2^{n}$。但其中有些方案是不符合要求的，例如 $B_1=\{1,2,\cdots,n_1\}$ 和 $B_2=\{n_1+1,n_1+2,\cdots,n_1+n_2\}$ ，即 $S_1$ 和 $S_2$ 的字符没有交替排列。我们需要剔除这些方案。
我们可以使用容斥原理来计算符合要求的方案数。设 $A_i$ 表示至少有 $i$ 个相邻的字符来自于同一个字符串的方案数，$B_i$ 表示至少有 $i$ 个相邻的字符来自 $S_1$ 的方案数。则根据容斥原理，符合要求的方案数为：
$$ C_n^{n_1} - A_1 + A_2 - \cdots + (-1)^{n-1}A_{n-1} $$
其中，$C_n^{n_1}$ 表示 $A$ 分成两个子集 $B_1$ 和 $B_2$ 的总方案数。
接下来，我们需要计算 $A_i$ 和 $B_i$ 的值。
对于 $A_i$，我们可以通过把所有的 $S_1$ 或所有的 $S_2$ 捆绑成一个字符，将问题转化为只有一个字符串的情况。这样，$A_i$ 可以表示为 $n-2i+1$，即在一个长度为 $n-2i+1$ 的字符串中，任意选择 $i$ 个位置插入另一个字符串的字符，有多少种插入方法。
对于 $B_i$，我们可以将两个相邻的 $S_1$ 字符或两个相邻的 $S_2$ 字符看作一个整体，然后问题转化为对这些整体进行排列组合的情况。在 $B_i$ 中，有 $n_1-i+1$ 个整体来自 $S_1$，有 $n_2-i+1$ 个整体来自 $S_2$。这些整体构成的序列可以看作是由 $n_1-i+1$ 个 $1$ 和 $n_2-i+1$ 个 $0$ 组成的序列，其中相邻的 $1$ 或 $0$ 的个数均不超过 $i-1$。这样的序列称为 $(i-1)$-run 长度不超过 $1$ 的二进制序列。一般地，当我们需要一个长度不超过 $k$ 的 $(i-1)$-run 二进制序列时，可以使用 Burnside 引理和 Polyá 定理计算其方案数。
通过这些计算，我们就可以求解交替排列组合的方案数量了。
3. 示例代码
// 计算解的个数。B 是一个 01 串，idx1 和 idx2 表示分别匹配到 S1 和 S2 的哪些字符。
long long count(const string& S1, const string& S2, const vector& idx1, const vector& idx2, const string& B) {
int n1 = S1.size(), n2 = S2.size(), n = n1 + n2;
assert(n == B.size() && n == idx1.size() && n == idx2.size());
if (count(B.begin(), B.end(), '0') == 0 || count(B.begin(), B.end(), '1') == 0)
return 0;
long long ans = pow(2, n), b1 = 0, b2 = 0;
for (int i = 0; i < n;) {
if (B[i] == '0') {
int j = i;
while (j < n && B[j] == '0') ++j;
int len = j - i;
b2 += getRunCounts(n2 - len + 1, len);
i = j;
} else {
int j = i;
while (j < n && B[j] == '1') ++j;
int len = j - i;
b1 += getRunCounts(n1 - len + 1, len);
i = j;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i += 2) {
ans -= choose(n, i) * pow(2, n - i);
}
for (int i = 1; i <= n1; ++i) {
ans -= choose(n - i + 1, i) * pow(2, n2 - i + 1) * b1;
}
for (int i = 1; i <= n2; ++i) {
ans -= choose(n - i + 1, i) * pow(2, n1 - i + 1) * b2;
}
for (int i = 1; i <= n1 + n2; i += 2) {
ans += choose(n1, i / 2) * choose(n2, i / 2) * choose(i, i / 2) * pow(2, n - i);
}
return ans;
}
4. 总结
本文介绍了如何计算两个字符串中所有字符交替放置的方案数。该问题可以使用排列组合的方法求解，其中使用到了容斥原理、Burnside 引理和 Polyá 定理等组合数学知识。在代码实现中，需要注意细节和处理边界条件。
这个问题具有一定的难度和深度，需要读者有一定的组合数学基础才能理解和掌握。但是掌握了这个问题以及其求解方法，对于学习组合数学和算法设计都具有重要的意义。