计算所有整数的排列，这些排列可以根据给定的条件形成一个无环图

1. 问题描述

给定整数 $n$，计算所有长度为 $n$ 的排列，使得它们可以形成一个无向无环图。

其中，一个长度为 $n$ 的排列可以表示为 $P=p_1p_2\cdots p_n$，该排列可以形成一个无向无环图当且仅当：

对于 $1 \leq i < j \leq n$，如果 $p_i < p_j$，则存在 $1\leq k

对于 $1 \leq i < j < k \leq n$，如果 $p_i < p_k < p_j$，则存在 $1 \leq l \leq n$ 使得 $p_i

2. 解题思路

为了解决该问题，我们需要找到满足条件的排列个数。为了方便，我们可以考虑动态规划的方法。

2.1 状态定义

我们用 $f_{i,S}$ 表示长度为 $i$，排列为 $S$ 的排列是否满足条件1。其中，$S$ 是 $1\sim i$ 的一个排列。

2.2 状态转移方程

对于一个长度为 $i$ 的排列 $S$，我们把 $S$ 拆成两部分：$S=S_1\circ S_2$。其中，$S_1$ 包括前 $k$ 个数，$S_2$ 包括后 $i-k$ 个数。如果 $S_1\circ S_2$ 满足条件1，则 $f_{i,S}=1$。

int f[N][N];
int cnt=0;
bool check(int s,int i,int j,int k)
{
    if(s&(1<
    if(s&(1<
    if(s&(1<
    if(k>i&&k
    return ((s&(1<
}
void DP(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<1<
        {
            int num=0;
            for(int k=0;k
            {
                num+=(1<
            }
            bool flag=true;
            for(int k=0;k
            {
                if((j&(1<
                for(int l=k+1;l
                {
                    if((j&(1<
                    if(f[i-1][num-(1<
                    {
                        flag=false;
                        break;
                    }
                }
                if(!flag) break;
            }
            f[i][j]=flag;
            if(!flag) continue;
            for(int k=0;k
            {
                if((j&(1<
                for(int l=k+1;l
                {
                    if((j&(1<
                    for(int t=k+1;t
                    {
                        if((j&(1<
                        if(check(j,k,l,t)==true)
                        {
                            cnt++;
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
}

2.3 初始状态

当 $i=1$ 时，只有一种排列，即 $S=\{1\}$。因此，$f_{1,\{1\}}=1$，其余情况都为0。

2.4 答案计算

考虑遍历所有 $1\sim n$ 的排列，将满足条件1的排列拆分后判断其是否满足条件2，累加计数器即为答案。

int ans=0;
void calculateAns(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int num=0;
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            num=num*10+j;
        }
        do
        {
            bool flag=true;
            for(int j=0;j
            {
                for(int k=j+1;k
                {
                    if(f[i][1<
                    {
                        flag=false;
                        break;
                    }
                }
                if(!flag)   break;
            }
            if(!flag)   continue;
            for(int j=0;j
            {
                for(int k=j+1;k
                {
                    for(int t=k+1;t
                    {
                        if(check(num,j,k,t)==true)
                        {
                            ans++;
                        }
                    }
                }
            }
        }while(next_permutation(num,num+i));
    }
}

3. 总结

本文介绍了一种使用动态规划解决求满足条件1的排列个数，以及计算满足条件1和条件2的排列个数的算法。本算法时间复杂度为 $O(n^22^n)$，空间复杂度为 $O(n2^n)$。由于状态数较多，需要使用高效的状态空间压缩技巧，具体实现细节可见代码部分。