计算多项式回归算法的C程序

什么是多项式回归算法

多项式回归算法是一种可以用于拟合非线性数据的方法。与简单线性回归算法类似，多项式回归算法也是一种基于最小二乘法的拟合方法。但是，在多项式回归算法中，我们会使用多项式函数来拟合数据，而不是使用线性函数。

多项式函数的形式

一般来说，多项式函数的形式可以表示为：

y = b0 + b1x + b2x2 + ... + bnxn

其中，y是因变量（或响应变量），x是自变量（或解释变量），b₀、b₁、b₂、...、b_n是回归系数，n表示多项式函数的次数。一般来说，n的值越大，多项式函数就越复杂。

多项式回归算法与线性回归算法的关系

多项式回归算法与线性回归算法的关系在于，如果我们将多项式函数中的x、x²、...、xⁿ等变量都看做自变量，并将它们的系数看做回归系数，那么，多项式回归算法就可以转化为线性回归算法的形式。因此，我们仍然可以使用最小二乘法来拟合非线性的数据。

计算多项式回归的过程

计算多项式回归的过程可以分为以下几步：

Step 1：准备数据

首先，我们需要准备一组数据，其中包含了自变量和因变量的值。

下面是一个简单的例子：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    vector<double> x = {1, 2, 3, 4, 5};
    vector<double> y = {2.1, 4.0, 6.2, 8.1, 10.5};
    return 0;
}

在这个例子中，我们准备了两个向量x和y，其中x是自变量，y是因变量。

Step 2：构造矩阵

接下来，我们需要构造一个矩阵，其中包含了自变量的各个幂次。

下面是一个简单的例子：

vector<vector<double>> X;
int n = x.size();
int p = 3;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    vector<double> row;
    for (int j = 0; j <= p; j++) {
        row.push_back(pow(x[i], j));
    }
    X.push_back(row);
}

在这个例子中，我们构造了一个矩阵X，其中包含了自变量x的0次幂、1次幂和2次幂。

Step 3：计算回归系数

接下来，我们需要计算回归系数。这可以通过解一个线性方程组来实现。

下面是一个简单的例子：

vector<vector<double>> Xt;
for (int j = 0; j <= p; j++) {
    vector<double> row;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        row.push_back(X[i][j]);
    }
    Xt.push_back(row);
}
vector<vector<double>> XtX;
for (int i = 0; i <= p; i++) {
    vector<double> row;
    for (int j = 0; j <= p; j++) {
        double sum = 0;
        for (int k = 0; k < n; k++) {
            sum += Xt[i][k] * X[k][j];
        }
        row.push_back(sum);
    }
    XtX.push_back(row);
}
vector<vector<double>> XtX_inv;
// 使用高斯消元法求逆矩阵
...
vector<vector<double>> XtX_inv_Xt;
for (int i = 0; i <= p; i++) {
    vector<double> row;
    for (int k = 0; k < n; k++) {
        double sum = 0;
        for (int j = 0; j <= p; j++) {
            sum += XtX_inv[i][j] * Xt[j][k];
        }
        row.push_back(sum);
    }
    XtX_inv_Xt.push_back(row);
}
vector<double> beta;
for (int i = 0; i <= p; i++) {
    double sum = 0;
    for (int k = 0; k < n; k++) {
        sum += XtX_inv_Xt[i][k] * y[k];
    }
    beta.push_back(sum);
}

在这个例子中，我们计算了矩阵X的转置Xt，然后计算了矩阵XtX，接着使用高斯消元法求出了矩阵XtX的逆矩阵，最后计算了回归系数beta。

Step 4：计算拟合结果

最后，我们可以使用回归系数beta来计算拟合结果。

下面是一个简单的例子：

vector<double> y_hat;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    double sum = 0;
    for (int j = 0; j <= p; j++) {
        sum += beta[j] * pow(x[i], j);
    }
    y_hat.push_back(sum);
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
    cout << "x = " << x[i] << ", y_hat = " << y_hat[i] << ", y = " << y[i] << endl;
}

在这个例子中，我们计算了拟合结果y_hat，并将其与原始数据y进行了比较。

总结

通过本文，我们学习了多项式回归算法的基本原理和计算过程，并实现了一个简单的多项式回归算法。多项式回归算法可以用于拟合非线性数据，可以使用最小二乘法来计算回归系数，并转化为线性回归算法的形式。但是，多项式回归算法也存在一些问题，比如可能会出现过拟合的情况，需要仔细地选择多项式函数的次数。