第n个卡塔兰数的C程序

什么是卡塔兰数？

卡塔兰数是组合数学中一种重要的数列，其前几项为：1，1，2，5，14，42，...。卡塔兰数通常在组合计数问题中出现，例如有多少种方式将n个节点排成二叉搜索树。

在计算机科学中，卡塔兰数也有广泛的应用。例如，在计算凸多边形三角剖分个数时，卡塔兰数就可以派上用场。此外，在表达式括号匹配、刻画一个栈的出栈次序等问题中，卡塔兰数也是十分重要的。

卡塔兰数的递推式

卡塔兰数的递推式为：C_n+1=(2(2n+1)/(n+2))*C_n。

需要注意的是，当 n=0 时，C_n=1。

该递推式可以由卡特兰数的定义及其递推关系得出，具体的计算方式不在本文讨论范围之内。下面给出计算第n个卡塔兰数的C程序。

第n个卡塔兰数的C程序

代码实现

#include <stdio.h>

unsigned long int catalan(unsigned int n) {
    if (n == 0) return 1;
    unsigned long int catalanNum = 1;
    for (unsigned int i = 1; i <= n; ++i) {
        catalanNum *= 2 * (2 * i - 1);
        catalanNum /= i + 1;
    }
    return catalanNum;
}
int main() {
    unsigned int n = 10; //计算第10项卡塔兰数
    printf("第%d个卡塔兰数是%lu。\n", n, catalan(n));
    return 0;
}

首先，我们需要定义一个函数 catalan，它的参数是 n，表示要计算第 n 个卡塔兰数。该函数的返回值是一个 unsigned long int 类型的整数，即第 n 个卡塔兰数。

接下来，我们用一个 if 语句来处理特殊情况。当 n=0 时，C_n=1，因此直接返回 1。

然后，我们定义一个 unsigned long int 类型的变量 catalanNum，用来存储卡塔兰数的值。初始时，catalanNum 被赋值为 1。

最后，我们使用一个 for 循环来计算卡塔兰数的值。对于每个 i，都要计算出 (2(2i-1)/(i+1)) 倍 catalanNum 的值，然后将 catalanNum 赋值为计算结果。

代码解释

如前所述，卡塔兰数的递推式为 C_n+1=(2(2n+1)/(n+2))*C_n。

在 catalan 函数中，我们使用了 for 循环来计算 C_n 的值。例如，计算 C₅ 的值时，catalanNum 的值变化如下：

初始时 catalanNum = 1。

当 i=1 时，catalanNum = 2*(2*1-1)/1+1)*1 = 2。

当 i=2 时，catalanNum = 2*(2*2-1)/(2+1))*2 = 5。

当 i=3 时，catalanNum = 2*(2*3-1)/(3+1))*5 = 14。

当 i=4 时，catalanNum = 2*(2*4-1)/(4+1))*14 = 42。

当 i=5 时，catalanNum = 2*(2*5-1)/(5+1))*42 = 132。

因此，当 n=5 时，catalan(5) 的返回值为 132，即 C₅=132。

总结

卡塔兰数是一种非常重要的数列，其在组合计数、计算机科学、数学等领域中都有广泛的应用。在计算第 n 个卡塔兰数时，我们可以使用递推式 C_n+1=(2(2n+1)/(n+2))*C_n，也可以使用递归的方法来计算。

本文给出了计算第 n 个卡塔兰数的 C 程序，该程序使用了递推的方法。对于初学者来说，如果能够掌握这个程序的实现方法，就能更好地理解卡塔兰数的含义及其计算方法。