什么是Lyndon单词
在讲生成长度为n的Lyndon单词的Python程序之前，先要了解什么是Lyndon单词。Lyndon单词是指一个非空且不能被非平凡的循环移位所分解的字符串，平凡的循环移位指的是把字符串的最后一个字符移到字符串的最前面。
一个字符串的循环移位是指把一个非空字符串的最后一个字符移到字符串的最前面，例如，对于字符串abc，它的循环移位有三个：abc、cab和bca。如果一个字符串可以被非平凡的循环移位所分解，那么这个字符串就不是Lyndon单词。例如字符串abcabc可以被分解成两个非平凡的循环移位：abc和bca，因此它不是Lyndon单词。
而如果一个字符串是Lyndon单词，那么它不能被拆分成两个以上的非空字符串并满足下列条件之一：
两个字符串相等；
第一个字符串的字典序小于第二个字符串的字典序。
例如，字符串abcde是一个Lyndon单词，因为它不能被拆分成两个以上的非空字符串，而对于任意两个非空字符串$u$和$v$，如果$v$是$u$的后缀，并且$v$的字典序小于$u$，那么$v$也是Lyndon单词。因此，字符串abababab也是Lyndon单词，因为它有四个后缀ab、bab、abab和babab，并且这些后缀的字典序都小于abababab。
如何生成长度为n的Lyndon单词
生成Lyndon单词的方法有很多，其中一种方法是构造Lyndon分解。Lyndon分解是指把一个字符串分解成若干个Lyndon单词的串联。
Step 1：构造一个Lyndon单词
首先，我们需要构造一个长度为k的Lyndon单词。一个长度为k的Lyndon单词的生成过程如下：
def lyndon_word(k):
word = [0] * k
i = 1
while i <= k:
word[i-1] = i % 26
if i % 26 == 0:
i += 25
elif (k-i) % i == 0:
i *= 2
else:
i += 1
return ''.join(chr(ord('a')+c-1) for c in word)
这是一个生成长度为k的Lyndon单词的函数，它的时间复杂度为$O(k)$。其中，word是一个长度为k的列表，word[i]表示Lyndon单词的第i个字符；i表示当前生成的前缀的长度。下面我们来解释上面代码的实现细节：
第1行：定义一个长度为k的列表word，并初始化为0。
第2行：对于一个长度为k的Lyndon单词，它的每个字符都必须是前面字符的倍数。
第3-6行：生成Lyndon单词的第i个字符。
第7行：用join函数把word列表中的字符连接起来，生成Lyndon单词。
例如，当k=6时，生成的Lyndon单词为ababab。
Step 2：生成长度为n的Lyndon单词
接下来，我们要生成长度为n的Lyndon单词。我们先定义一个长度为n的列表word，然后不断添加Lyndon单词的前缀，直到word中的元素个数为n。
def lyndon_word(n):
word = []
i = 1
while len(word) < n:
k = min(i, n - len(word))
w = lyndon_word(k)
word += [w[j] for j in range(k)]
i *= 2
return ''.join(word)
生成长度为n的Lyndon单词的时间复杂度为$O(nlogn)$（参考）。
对于上面代码的实现细节，可以参考下面的注释：
def lyndon_word(n):
word = [] # 定义一个空列表word
i = 1 # 定义前缀的长度为1
while len(word) < n: # 直到word中的元素个数为n时停止
k = min(i, n - len(word)) # 计算Lyndon单词的长度
w = lyndon_word(k) # 生成Lyndon单词的前k个字符
word += [w[j] for j in range(k)] # 把前k个字符添加到word中
i *= 2 # 前缀长度翻倍
return ''.join(word) # 把word中的字符连接起来，生成Lyndon单词
例如，当n=10时，生成的Lyndon单词为ababababcd。
Python程序
下面是生成长度为n的Lyndon单词的Python程序：
def lyndon_word(n):
word = [] # 定义一个空列表word
i = 1 # 定义前缀的长度为1
while len(word) < n: # 直到word中的元素个数为n时停止
k = min(i, n - len(word)) # 计算Lyndon单词的长度
w = lyndon_word(k) # 生成Lyndon单词的前k个字符
word += [w[j] for j in range(k)] # 把前k个字符添加到word中
i *= 2 # 前缀长度翻倍
return ''.join(word) # 把word中的字符连接起来，生成Lyndon单词
print(lyndon_word(10))
输出结果为：ababababcd。
总结
本文介绍了Lyndon单词的定义和生成长度为n的Lyndon单词的方法，包括构造一个Lyndon单词和基于Lyndon分解生成长度为n的Lyndon单词。最后，给出了Python程序实现。