1. 满二叉树的定义
满二叉树是一种特殊的二叉树结构，它除了叶子节点之外的每个节点都有两个子节点，并且所有的叶子节点都出现在同一层级上。换句话说，如果一个二叉树是满二叉树，那么它的每个内部节点都有两个孩子，每个叶子节点都在相同的深度上。例如：
1
/ \
2 3
/\ /\
4 5 6 7
如上所示的二叉树就是一棵满二叉树。
2. 每个节点都是其子节点的乘积
2.1 理解“每个节点都是其子节点的乘积”
题目中的条件是每个节点都是其子节点的乘积，指的是一个节点的值等于其左右子节点的值的乘积。例如，上面满二叉树中每个节点的值都等于其左右子节点值的乘积：
节点1的值等于2和3节点值的乘积，即1 = 2 * 3
节点2的值等于4和5节点值的乘积，即2 = 4 * 5
节点3的值等于6和7节点值的乘积，即3 = 6 * 7
节点4、5、6和7的值都是叶子节点，它们的值定义为1
2.2 求解满足条件的满二叉树数量
如何求解满足条件的满二叉树数量呢？我们可以使用递归的思路来解决这个问题。对于一个节点的值确定后，它的左右子节点的值也就随之确定。因此我们可以先枚举根节点的值，在根节点的值确定后，递归计算左子树和右子树的数量，然后将两个数量相乘即可得到以该节点为根的所有满足条件的满二叉树的数量。
具体来说，我们假设满二叉树的深度为h，那么根节点的值可以从1到pow(2, h)-1枚举。对于根节点的值，设其左子树含有l个节点，右子树含有r个节点，则根据乘积的性质，左子树和右子树内部的各个节点的值都已经确定。因此，求解每个子树的数量可以递归地调用函数来完成。
long long calc(int n) {
if (n == 1) { // 叶子节点的数量只有1
return 1;
}
long long res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
res += calc(i) * calc(n - i);
}
return res;
}
对于一棵深度为h的满二叉树，其节点数量为2^h - 1，因此我们可以通过调用calc(2^h - 1)来得到满足条件的满二叉树的数量。具体实现可以参考如下代码：
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
long long calc(int n) {
if (n == 1) { // 叶子节点的数量只有1
return 1;
}
long long res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
res += calc(i) * calc(n - i);
}
return res;
}
int main() {
int h;
cin >> h;
cout << calc(pow(2, h) - 1) << endl;
return 0;
}
3. 总结
本文介绍了满二叉树的概念和每个节点都是其子节点的乘积的条件，然后利用递归的思路求解满足条件的满二叉树数量。实际上，递归是解决二叉树问题的常用思路之一，对于二叉树的遍历、查找、修改等问题都可以通过递归的方式来解决。因此，掌握二叉树的递归思路可以帮助我们更好地理解和解决相关问题。