C++程序计算满足两个条件的涂色方案的数量

1. 前言

色彩是指物体表面对光的反射能力，是人类视觉感知的一种质量。人们在生活中常常需要进行染色，如画画、染布等，而不同的涂色方案会对颜色的效果产生不同的影响，因此需要对涂色方案进行研究和计算。在本文中，我们将介绍一种利用C++编程计算满足两个条件的涂色方案数量的方法，希望能够对读者有所帮助。

2. 问题描述

假设有一个长度为$n$的字符序列，每个字符都是红色（R）、绿色（G）或者蓝色（B）。如果将它们涂上黑色（K）或者白色（W），则可能会得到不同的颜色组合，但实际中会有一些限制。假设涂上黑色和白色需要的颜料有限，因此需要满足以下两个条件：

黑白颜料的使用比例不能超过$60\%$：黑白颜料的总数不能超过字符序列长度的$60\%$。

黑白颜料不能相邻：相邻的两个位置不能同时涂上黑色或者白色。

现在需要计算出所有满足以上两个条件的涂色方案数量。

3. 思路分析

为了满足以上两个条件，我们可以用动态规划（DP）算法来解决。

3.1 定义状态

我们可以考虑定义一个二维的状态$dp[i][j]$，表示前$i$个字符已经涂上颜色，其中最后一个涂上的颜色为$j$。其中，$j$的取值为0或1，分别对应第$i$个字符是黑色或者白色。

3.2 转移方程

对于每一个状态$dp[i][j]$，我们可以分两种情况考虑。如果第$i$个字符不用涂黑白，则将状态转移为$dp[i][j][k]$，其中$k$的取值为0、1、2或3，分别对应第$i$个字符是红色、绿色、蓝色或者白色。

dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k] (k != j)

如果第$i$个字符可以涂黑白，则需要考虑第$i-1$个字符是否涂了黑白，并且需要满足使用比例不超过$60\%$和不相邻的限制。如果第$i-1$个字符没有涂黑白，则状态转移为$dp[i][j][4]$，表示第$i$个字符涂黑白。如果第$i-1$个字符涂了黑白，则状态转移为$dp[i][j][5]$，表示第$i$个字符不涂黑白。

if (j == 0) {  // 涂黑色

    if (dp[i-1][0][4]+dp[i-1][1][4] <= n*0.6 && dp[i-1][1][3]+dp[i-1][2][3] <= n*0.6 && dp[i-1][3][4] > 0) {
        dp[i][0][4] += dp[i-1][3][4];
    }
    if (dp[i-1][1][5]+dp[i-1][2][5] <= n*0.6 && dp[i-1][0][3]+dp[i-1][2][3] <= n*0.6) {
        dp[i][0][5] += dp[i-1][1][5] + dp[i-1][2][5];
    }
} else if (j == 1) {  // 涂白色
    if (dp[i-1][0][4]+dp[i-1][1][4] <= n*0.6 && dp[i-1][1][3]+dp[i-1][2][3] <= n*0.6) {
        dp[i][1][4] += dp[i-1][0][4] + dp[i-1][1][4];
    }
    if (dp[i-1][1][5]+dp[i-1][2][5] <= n*0.6 && dp[i-1][0][3]+dp[i-1][2][3] <= n*0.6 && dp[i-1][3][4] > 0) {
        dp[i][1][5] += dp[i-1][3][4];
    }
}

3.3 初始状态

初始状态为$dp[1][k][k]$，其中$k$的取值为0、1或2，分别对应第$1$个字符是红色、绿色或蓝色。

dp[1][0][0] = dp[1][1][1] = dp[1][2][2] = 1;

3.4 边界条件

涂色字符串最终的结果为$dp[n][j][k]$的所有状态相加（$j$和$k$各自取0或1），即：

ans = dp[n][0][0] + dp[n][0][1] + dp[n][1][0] + dp[n][1][1];

4. 代码实现

const int MAXN = 5005;

int n, dp[MAXN][2][6], ans;
int main() {
    cin >> n;
    dp[1][0][0] = dp[1][1][1] = dp[1][2][2] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        // 不涂黑白
        for (int j = 0; j < 2; j++) {
            for (int k = 0; k < 4; k++) {
                dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k^1];
            }
        }
        // 涂黑白
        if (dp[i-1][0][4]+dp[i-1][1][4] <= n*0.6 && dp[i-1][1][3]+dp[i-1][2][3] <= n*0.6 && dp[i-1][3][4] > 0) {
            dp[i][0][4] += dp[i-1][3][4];
        }
        if (dp[i-1][1][5]+dp[i-1][2][5] <= n*0.6 && dp[i-1][0][3]+dp[i-1][2][3] <= n*0.6) {
            dp[i][0][5] += dp[i-1][1][5] + dp[i-1][2][5];
        }
        if (dp[i-1][0][4]+dp[i-1][1][4] <= n*0.6 && dp[i-1][1][3]+dp[i-1][2][3] <= n*0.6) {
            dp[i][1][4] += dp[i-1][0][4] + dp[i-1][1][4];
        }
        if (dp[i-1][1][5]+dp[i-1][2][5] <= n*0.6 && dp[i-1][0][3]+dp[i-1][2][3] <= n*0.6 && dp[i-1][3][4] > 0) {
            dp[i][1][5] += dp[i-1][3][4];
        }
    }
    ans = dp[n][0][0] + dp[n][0][1] + dp[n][1][0] + dp[n][1][1];
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

5. 总结

本文介绍了利用动态规划算法，基于两个条件计算涂色方案数量的C++程序实现方法，具体思路为：定义状态、转移方程、初始状态和边界条件。希望读者通过本文的学习，能够掌握动态规划算法的基本思路，并能够灵活应用到实际的问题解决中。