什么是Munchhausen数
Munchhaussen数，是指一个自然数可以拆分成若干个数字（一般是十进制下的各个位上的数字），然后再将这些数字分别提高到自己次幂的和，如果这个自然数等于这些和的和，则称这个自然数为Munchhausen数。Munchhausen数最常见的是10进制下的Munchhausen数，其中最小的Munchhausen数是1，第二小的是343，第三小的是69,665。
Munchhausen数的发现
Munchhausen数是对义大利童话故事中彭瑟哈斯（Baron M¨unchhausen）的褒奖。彭瑟哈斯以富有的幽默和诙谐见长。他忠于祖国地位使他成为普鲁士国王的高级侍从，这给他提供了机会用这些故事来取乐；他甚至有了自己的舞台上的表演！MVC的发现者也有一些很棒的故事，使得他的名字与算法体系结构，Logo语言和许多奇妙的想法联系在一起。这里给出其中一个它有趣的故事，其中提到了Munchhausen数:
当帕帕斯·基翁尼（Papass Kionni）得知勒那德（Leonhard）大数也可以称作超倍数时，他开始将大数解释为它本身各位上提高次幂和。勒那德与他的朋友约翰尼斯·乔治·范德莱芬（Johann Georg von Soldner）发现，数407是由“4”的4次幂，“0”的0次幂，“7”的5次幂组成的。他们活动范围扩大到更大的数，发现了85, 405和1634。他们呈报了这些信息，并推测26,415是也是。在极端的情况下，他们找到了一个上限，即4个数均不超过10。不幸的是，25.769也被加入了他们的名单。幸运的是，没人受到伤害。
如何判断Munchhausen数
既然了解了Munchhausen数的定义，那么如何判断一个数字是否为Munchhausen数呢？
暴力枚举法
我们可以将该数字每个数位上的数提高次幂相加，判断和是否等于原数。下面我们看看C++的代码：
bool isMunchhausen(int num){
int tmp = num, sum = 0;
while(tmp){
int digit = tmp % 10;
tmp /= 10;
sum += pow(digit, digit);
}
return sum == num;
}
以上是暴力枚举法的代码实现。
值得注意的是，如果我们使用pow函数来计算次幂的话，会产生精度误差，因此可以自行写一个用于计算次幂的函数。下面是精度更高的版本：
int power(int base, int exponent){
int result = 1;
while(exponent){
if(exponent & 1) result *= base;
base *= base;
exponent >>= 1;
}
return result;
}
bool isMunchhausen(int num){
int tmp = num, sum = 0;
while(tmp){
int digit = tmp % 10;
tmp /= 10;
sum += power(digit, digit);
}
return sum == num;
}
进一步优化
以上算法虽然简单易懂，但是时间复杂度较高。我们可以优化这个算法，用一个数组f表示数字i是否为Munchhausen数。然后用双指针法，通过不断更改f数组中的值，来判断每个数字是否为Munchhausen数。下面是C++代码实现：
bool isMunchhausen(int num){
static int f[10] = {0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0};
int tmp = num, sum = 0;
while(tmp){
int digit = tmp % 10;
tmp /= 10;
sum += f[digit];
}
return sum == num;
}
void getMunchhausenNum(){
for(int i = 1; i <= 10000000; i++){
if(isMunchhausen(i)) cout << i << endl;
}
}
代码中f[10]数组表示待判断数的最大位数，数组下标表示数字的各个位数，f[i]记录i的i次幂是否出现过。如果数字数位较大，则需要增加f数组的长度。
结语
Munchhausen数虽然非常罕见，但是对于数字相关的研究来说，是一个有趣的话题。如果你感兴趣，可以尝试使用回溯算法来寻找更多的Munchhausen数。