格雷码的十进制等价及其逆序

1. 格雷码的介绍

在计算机领域中，格雷码是一种二进制的编码方式，它的典型特点是相邻元素之间只有一位二进制数不同。格雷码最初是由美国的电子工程师弗兰克·格雷在1953年发明的，常用于数字电路设计、数据传输、数据压缩等领域。

1.1 格雷码的生成方式

生成格雷码的方式有很多种，其中最常用的方法是利用递归。下面是一份C++代码，实现了一种递归的方法，可以生成n位二进制的格雷码：

void grayCode(int n) {
    if (n == 1) {
        cout << "0" << endl;
        cout << "1" << endl;
        return;
    }
    grayCode(n-1);
    int len = pow(2, n-1);
    for (int i=len-1; i>=0; i--) {
        cout << (len+i) << endl;
    }
    return;
}

上述代码生成的格雷码如下：

对于2位的格雷码：

00

01
11
10

对于3位的格雷码：

000

001
011
010
110
111
101
100

1.2 格雷码的性质

格雷码有很多有趣的性质，下文列举了其中一些重要的性质：

相邻的两个格雷码之间只有一位的差别，因此需要进行状态转移的时候非常方便。

对于n位二进制的格雷码总数为2^n，其中任意两个格雷码的汉明距离（即相同位置上不同的二进制数的个数）相等。

2. 格雷码的十进制等价

在实际的应用场景当中，通常需要将格雷码转化为十进制数来使用。下面详细介绍格雷码和十进制数的转化方法。

2.1 格雷码转十进制数

对于n位格雷码，将其转化为十进制数的方法如下：

将最高位的格雷码复制一份，作为转化后的十进制数的最高位。

将n-1位的格雷码与n-1位的十进制数进行异或操作，得到第n位的十进制数。

重复第2步操作直到第1位。

下面是一份C++代码，用于将n位的格雷码转化为十进制数：

int grayToDecimal(string gray) {
    int decimal = 0;
    int n = gray.size();
    decimal += (gray[0]-'0') * pow(2, n-1);
    for (int i=0; i
        if (gray[i] == gray[i+1]) {
            decimal += 0;
        } else {
            decimal += pow(2, n-2-i);
        }
    }
    return decimal;
}

假设有4位格雷码"0110"，将其转化为十进制数的过程如下：

最高位为0，复制一份得到最高位为0的十进制数。

第2位的格雷码"1"和第1位的十进制数"0"进行异或操作，得到第2位为1的十进制数。

第3位的格雷码"1"和第2位的十进制数"1"进行异或操作，得到第3位为0的十进制数。

第4位的格雷码"0"和第3位的十进制数"0"进行异或操作，得到第4位为1的十进制数。

因此，格雷码"0110"转化为的十进制数为3。

2.2 十进制数转格雷码

对于十进制数x，将其转化为n位格雷码的方法如下：

将x转化为n位二进制数。

将最高位二进制数复制一份，作为转化后的格雷码的最高位。

将第i位二进制数与第i-1位二进制数进行异或操作，得到第i位格雷码。

重复第3步操作直到第n位。

下面是一份C++代码，用于将十进制数转化为n位格雷码：

string decimalToGray(int decimal, int n) {
    int bit;
    int pos = 1 << (n-1);
    string gray;
    for (int i=0; i
        bit = decimal & pos;
        gray += (bit != 0) ? "1" : "0";
        pos >>= 1;
    }
    string next = gray;
    for (int i=n-1; i>=1; i--) {
        if (next[i] == '1') {
            gray[i-1] = (gray[i-1] == '1') ? '0' : '1';
        }
    }
    return gray;
}

假设需要将十进制数7转化为4位格雷码，将其转化为二进制数"0111"后，将其转化为格雷码的过程如下：

最高位为0，复制一份得到最高位为0的格雷码。

第2位的二进制数"1"和第1位的格雷码"0"进行异或操作，得到第2位为1的格雷码。

第3位的二进制数"1"和第2位的格雷码"1"进行异或操作，得到第3位为0的格雷码。

第4位的二进制数"1"和第3位的格雷码"0"进行异或操作，得到第4位为1的格雷码。

因此，十进制数7转化为的4位格雷码为"0110"。

3. 格雷码的逆序

格雷码的逆序是指将格雷码的低位和高位对调，并且对于每一位格雷码的值取反。下面详细介绍如何对n位格雷码进行逆序操作。

3.1 逆序操作的过程

对于n位格雷码，将其逆序的过程如下：

将n位格雷码倒序排列。

根据格雷码的性质，相邻的两个格雷码之间只有一位二进制数不同，因此可以对每一位进行取反操作。

下面是一份C++代码，用于对n位格雷码进行逆序操作：

string reverseGray(string gray) {
    int n = gray.size();
    string rev = gray;
    reverse(rev.begin(), rev.end());
    for (int i=n-1; i>=1; i--) {
        if (rev[i] != rev[i-1]) {
            gray[i-1] = '1';
        } else {
            gray[i-1] = '0';
        }
    }
    return gray;
}

假设有4位格雷码"1101"，对其进行逆序操作的过程如下：

将格雷码倒序排列得到"1011"。

取反操作得到"0100"，因此"1101"的逆序为"0100"。