1. 格雷码的介绍
在计算机领域中，格雷码是一种二进制的编码方式，它的典型特点是相邻元素之间只有一位二进制数不同。格雷码最初是由美国的电子工程师弗兰克·格雷在1953年发明的，常用于数字电路设计、数据传输、数据压缩等领域。
1.1 格雷码的生成方式
生成格雷码的方式有很多种，其中最常用的方法是利用递归。下面是一份C++代码，实现了一种递归的方法，可以生成n位二进制的格雷码：
void grayCode(int n) {
if (n == 1) {
cout << "0" << endl;
cout << "1" << endl;
return;
}
grayCode(n-1);
int len = pow(2, n-1);
for (int i=len-1; i>=0; i--) {
cout << (len+i) << endl;
}
return;
}
上述代码生成的格雷码如下：
对于2位的格雷码：
0001
11
10
对于3位的格雷码：
000001
011
010
110
111
101
100
1.2 格雷码的性质
格雷码有很多有趣的性质，下文列举了其中一些重要的性质：
相邻的两个格雷码之间只有一位的差别，因此需要进行状态转移的时候非常方便。
对于n位二进制的格雷码总数为2^n，其中任意两个格雷码的汉明距离（即相同位置上不同的二进制数的个数）相等。
2. 格雷码的十进制等价
在实际的应用场景当中，通常需要将格雷码转化为十进制数来使用。下面详细介绍格雷码和十进制数的转化方法。
2.1 格雷码转十进制数
对于n位格雷码，将其转化为十进制数的方法如下：
将最高位的格雷码复制一份，作为转化后的十进制数的最高位。
将n-1位的格雷码与n-1位的十进制数进行异或操作，得到第n位的十进制数。
重复第2步操作直到第1位。
下面是一份C++代码，用于将n位的格雷码转化为十进制数：
int grayToDecimal(string gray) {
int decimal = 0;
int n = gray.size();
decimal += (gray[0]-'0') * pow(2, n-1);
for (int i=0; i
if (gray[i] == gray[i+1]) {
decimal += 0;
} else {
decimal += pow(2, n-2-i);
}
}
return decimal;
}
假设有4位格雷码"0110"，将其转化为十进制数的过程如下：
最高位为0，复制一份得到最高位为0的十进制数。
第2位的格雷码"1"和第1位的十进制数"0"进行异或操作，得到第2位为1的十进制数。
第3位的格雷码"1"和第2位的十进制数"1"进行异或操作，得到第3位为0的十进制数。
第4位的格雷码"0"和第3位的十进制数"0"进行异或操作，得到第4位为1的十进制数。
因此，格雷码"0110"转化为的十进制数为3。
2.2 十进制数转格雷码
对于十进制数x，将其转化为n位格雷码的方法如下：
将x转化为n位二进制数。
将最高位二进制数复制一份，作为转化后的格雷码的最高位。
将第i位二进制数与第i-1位二进制数进行异或操作，得到第i位格雷码。
重复第3步操作直到第n位。
下面是一份C++代码，用于将十进制数转化为n位格雷码：
string decimalToGray(int decimal, int n) {
int bit;
int pos = 1 << (n-1);
string gray;
for (int i=0; i
bit = decimal & pos;
gray += (bit != 0) ? "1" : "0";
pos >>= 1;
}
string next = gray;
for (int i=n-1; i>=1; i--) {
if (next[i] == '1') {
gray[i-1] = (gray[i-1] == '1') ? '0' : '1';
}
}
return gray;
}
假设需要将十进制数7转化为4位格雷码，将其转化为二进制数"0111"后，将其转化为格雷码的过程如下：
最高位为0，复制一份得到最高位为0的格雷码。
第2位的二进制数"1"和第1位的格雷码"0"进行异或操作，得到第2位为1的格雷码。
第3位的二进制数"1"和第2位的格雷码"1"进行异或操作，得到第3位为0的格雷码。
第4位的二进制数"1"和第3位的格雷码"0"进行异或操作，得到第4位为1的格雷码。
因此，十进制数7转化为的4位格雷码为"0110"。
3. 格雷码的逆序
格雷码的逆序是指将格雷码的低位和高位对调，并且对于每一位格雷码的值取反。下面详细介绍如何对n位格雷码进行逆序操作。
3.1 逆序操作的过程
对于n位格雷码，将其逆序的过程如下：
将n位格雷码倒序排列。
根据格雷码的性质，相邻的两个格雷码之间只有一位二进制数不同，因此可以对每一位进行取反操作。
下面是一份C++代码，用于对n位格雷码进行逆序操作：
string reverseGray(string gray) {
int n = gray.size();
string rev = gray;
reverse(rev.begin(), rev.end());
for (int i=n-1; i>=1; i--) {
if (rev[i] != rev[i-1]) {
gray[i-1] = '1';
} else {
gray[i-1] = '0';
}
}
return gray;
}
假设有4位格雷码"1101"，对其进行逆序操作的过程如下：
将格雷码倒序排列得到"1011"。
取反操作得到"0100"，因此"1101"的逆序为"0100"。