1. 前言
在计算机科学中，图是一种广泛应用的数据结构，树是一种特殊的图。在许多应用程序中，需要找到一个图中的最短路径。这种算法通常使用BFS或Dijkstra算法。在本文中，我们将探讨如何计算一棵树中所有对最短路径之和。
2. 什么是树？
树是在计算机科学中广泛使用的一类图形结构。它是基于层次关系的一种非循环图形。每个树有一个特殊的节点称为根节点。树的结构包含许多节点，每个节点可以拥有多个子节点，但每个节点只有一个父节点。
2.1 树的定义
树可以用以下方式定义：
struct TreeNode {
int val;
TreeNode *left;
TreeNode *right;
TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
这里定义了一个简单的树结构。节点包含一个值和左右子节点。我们可以通过创建根节点来创建一棵树。
3. 什么是最短路径？
最短路径是在两个节点之间的路径中最小长度的路径。
3.1 最短路径算法
在计算机科学中，处理最短路径的算法比比皆是。在本文中，我们会使用Dijkstra算法。
Dijkstra算法是一种使用广度优先搜索找到从一个起点到所有其他节点的最短路径的算法。该算法是以荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra命名的。
Dijkstra算法使用一些数据结构，如优先级队列和哈希表，来优化搜索过程。
4. 如何计算树中所有对最短路径之和？
要计算一棵树中所有对最短路径之和，我们可以使用以下算法：
选定一棵树，并将其中一个节点作为根节点。
使用广度优先搜索算法和Dijkstra算法来计算根节点到所有叶子节点的最短路径。
将每对不同叶子节点之间的最短路径相加。
下面是一个实现该算法的代码：
class Solution {
public:
int sumOfDistancesInTree(int N, vector>& edges) {
vector> graph(N);
for (auto& e : edges) {
graph[e[0]].push_back(e[1]);
graph[e[1]].push_back(e[0]);
}
vector count(N), ans(N), seen(N);
function dfs1 = [&](int node, int parent) {
seen[node] = 1;
for (int nei : graph[node]) {
if (nei != parent && !seen[nei]) {
dfs1(nei, node);
count[node] += count[nei];
ans[node] += ans[nei] + count[nei];
}
}
count[node]++;
};
function dfs2 = [&](int node, int parent) {
seen[node] = 1;
for (int nei : graph[node]) {
if (nei != parent && !seen[nei]) {
ans[nei] = ans[node] - count[nei] + N - count[nei];
dfs2(nei, node);
}
}
};
dfs1(0, -1);
seen.assign(N, 0);
dfs2(0, -1);
return accumulate(begin(ans), end(ans), 0);
}
};
首先，我们需要构建一个邻接表，以表示树的结构。然后，我们使用DFS计算每个节点到所有叶子节点的最短路径和。我们使用两个DFS函数来完成此操作：dfs1和dfs2。
在dfs1中，我们使用DFS计算每个节点到其子节点的最短路径和。我们还计算每个节点中到其子节点的路径条数，以便稍后使用。这两个值最终将用于计算每对不同叶子节点之间的最短路径之和。
在dfs2中，我们使用递归向下传递值。我们计算每个节点到其父节点之外的其他节点的最短路径和。我们使用公式计算此值：
ans[nei] = ans[node] - count[nei] + N - count[nei];
在对每个节点做此计算后，我们计算所有答案的和并将它们返回。
5. 结论
我们已经看到了如何计算一棵树中所有对最短路径之和。这对于许多应用非常有用，例如在社交网络中找到两个不同用户之间的最短路径。
如果您有兴趣了解有关树和图的其他算法，请查看此处的其他文章。