1. 前言
最长递增子序列是一道经典的算法问题，在计算机科学中被广泛研究和应用，它的求解方法有很多种，其中使用线段树的方法是一种比较高效的方法，可以在较短的时间内求出最长递增子序列的长度。
2. 问题描述
给定一个长度为 n 的序列 A，找到 A 的最长递增子序列，并输出该子序列的长度。
2.1 什么是递增子序列？
递增子序列是指在一个序列中，选取任意一些数构成一个新的子序列，使得新的子序列中的数按照先后次序递增。例如，序列 A={1, 3, 2, 4, 5, 3, 7} ，它的一个递增子序列是 {1, 2, 4, 5, 7}。
3. 解决方案
3.1 思路
使用线段树是一种比较高效的方法，它的思路是将子序列转化为一棵线段树，然后将线段树进行分治，可以得到较优的时间复杂度。
3.2 代码实现
const int MAXN = (int)1e5 + 5;
int n, a[MAXN], b[MAXN];
class SegmentTree {
public:
void build(int l, int r, int rt) {
lazy[rt] = 0;
if (l == r) {
mx[rt] = dp[l];
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(l, mid, rt << 1);
build(mid + 1, r, rt << 1 | 1);
mx[rt] = max(mx[rt << 1], mx[rt << 1 | 1]);
}
void pushDown(int rt) {
if (!lazy[rt])
return;
mx[rt << 1] += lazy[rt];
mx[rt << 1 | 1] += lazy[rt];
lazy[rt << 1] += lazy[rt];
lazy[rt << 1 | 1] += lazy[rt];
lazy[rt] = 0;
}
void update(int l, int r, int rt, int x, int y, int k) {
if (x <= l && r <= y) {
mx[rt] += k;
lazy[rt] += k;
return;
}
pushDown(rt);
int mid = (l + r) >> 1;
if (x <= mid)
update(l, mid, rt << 1, x, y, k);
if (mid < y)
update(mid + 1, r, rt << 1 | 1, x, y, k);
mx[rt] = max(mx[rt << 1], mx[rt << 1 | 1]);
}
int query(int l, int r, int rt, int x, int y) {
if (x <= l && r <= y)
return mx[rt];
pushDown(rt);
int mid = (l + r) >> 1, ret = -1;
if (x <= mid)
ret = max(ret, query(l, mid, rt << 1, x, y));
if (mid < y)
ret = max(ret, query(mid + 1, r, rt << 1 | 1, x, y));
return ret;
}
private:
int mx[MAXN << 2], lazy[MAXN << 2];
};
3.3 算法流程
算法流程如下：
读入序列。
离散化。
按逆序插入数值。
遍历离散化后的值，逐个更新线段树上的值。
输出最终结果。
3.4 详细解释
最长递增子序列是指序列中最长的一段递增子序列。题目要求我们求出最长递增子序列的长度，因此，我们需要找到一个最长的递增子序列。
为了方便描述，我们这里假设 A 的长度为 n，其元素分别为 a1,a2,...,an。
在解决这个问题之前，我们需要知道一个连续子序列的性质：如果 a[l],a[l+1],...,a[r-1],a[r] 是一个递增子序列，那么对于任意的 l' 和 r' （l ≤ l' ≤ r' ≤ r），a[l'],a[l'+1],...,a[r'-1],a[r'] 也是一个递增子序列。具有这个性质的最长子序列一定是唯一的。
为了找到最长递增子序列，我们可以设计出一种算法，依次找到长度为 1、2、3、...、n 的子序列中最长的递增子序列，最终找到的最长子序列即为最长递增子序列。
考虑使用动态规划算法来解决这个问题。设 dp[i] 表示以 a[i] 为结尾的最长递增子序列的长度。显然，dp[1]=1。
状态转移方程如下：
dp[i] = max{dp[j] + 1}，其中 1≤j
通过状态转移方程，我们可以用 O(n^2) 的时间复杂度求出最长递增子序列的长度，但是这样会超时。
接下来，我们考虑如何使用线段树来优化这个算法。
假设我们已经求出 dp[1],dp[2],...,dp[i-1] 的值。注意到在求 dp[i] 的时候，dp[j] + 1 的值可能相等，而且相等的位置在一个区间内。也就是说，对于一段区间 [l,r]，如果 a[j] 属于这个区间，那么 dp[j] + 1 的值也一定属于这个区间。
这样的话，我们就可以使用线段树来维护区间最大值。具体来说，每次求解 dp[i] 的时候，我们在线段树上查询区间 [1,a[i]-1] 内的最大值，然后把这个最大值加上 1。最后，判断一下 dp[i] 是否比当前最长递增子序列的长度更长，如果是，就更新最长递增子序列的长度为 dp[i]。
总共需要查询 n 次，每次查询的时间复杂度为 O(logn)，因此总时间复杂度为 O(nlogn)。使用线段树优化后，可以在较短的时间内得到最长递增子序列的长度。
4. 总结
最长递增子序列是一道经典的算法问题，在计算机科学中被广泛研究和应用，使用线段树可以在较短的时间内求出最长递增子序列的长度。
线段树是一种高效的数据结构，可以用来解决许多区间处理相关的问题。在本题中，使用线段树可以将时间复杂度从 O(n^2) 优化到 O(nlogn)，使得算法的效率得到了显著提升。
通过本题的学习，我们不仅了解了最长递增子序列的定义和求解方法，还深入学习了线段树的相关知识。这些知识可以广泛应用到计算机科学的许多领域中，是我们打好基础、提高能力的重要工具。