1. 最小成本路径问题简介
在图结构中，最短路径问题是一个经典的问题，即寻找任意两个节点之间的路径中的最短距离。然而在实际情况中，另一个问题–最小成本路径，变得越来越重要。最小成本路径是寻找在图中从起点到终点的路径中，总成本最小的路径。这个问题出现在很多应用中，例如路线规划，邮递员派送问题，通讯网络中选择最佳路径和查找全局最优状态等。因此，解决最小成本路径问题是非常有意义的。
2. 问题分析
2.1 概述
我们可以将图抽象为节点和边的形式。节点表示一个状态或位置，边表示位置之间的相对关系以及这些位置之间的移动成本。有向图中的边权值表示从一个节点到另一个节点的成本。
为了解决最小成本路径问题，我们要考虑两个重要的概念：成本和路径。成本是指一种在网络中移动的操作的实际成本。成本可以是距离、时间或者对于电信网络来说，是网络的传输成本。而路径是一个由节点组成的序列，它表示在网络中从起点到终点的一个路径。在前面提到的启发式算法中，路径表示为一个解决方案的向量。
2.2 定义
本文中，我们考虑使用Dijkstra算法来解决最小成本路径问题。在此之前，我们先定义一些相关术语。
节点： 某个状态或位置。
有向边： 指向另一个节点的箭头，表示从一个节点到另一个节点的移动。
成本： 在有向边上移动的真实或抽象成本。
起点： 路径的开始节点。
终点： 路径的结束节点。
路径： 由节点构成的序列，表示从起点到终点的路径。
总成本： 在路径上移动的成本总和。
2.3 数据结构
对于每个节点，我们需要记录从起点到该节点的路径。记录这些路径的方法是通过一个表来实现的。对于Dijkstra算法，我们需要考虑两个表：距离表和前驱表。距离表用来记录从起点到节点的距离，前驱表表示从起点到节点的最短路径上，节点前一个节点的索引。
距离表中的值初始化为无限大，因为我们无法判断最短路径是否涉及该节点。起点节点的距离设置为0，因为我们已经在该节点上，所以距离是0。前驱表中的值初始化为-1，这表示该节点没有前驱节点。
3. 代码实现
下面是一个使用Dijkstra算法求解最小成本路径的C程序。
// C program to find shortest path using Dijkstra algorithm
#include
#include
#include
// Number of vertices in the graph
#define V 6
// Function to find the vertex with minimum distance value, from the set of vertices not yet included in shortest path tree
int minDistance(int dist[], bool sptSet[])
{
// Initialize min value
int min = INT_MAX, min_index;
for (int v = 0; v < V; v++)
if (sptSet[v] == false && dist[v] <= min)
min = dist[v], min_index = v;
return min_index;
}
// Function to print shortest path from source to j using parent array
void printPath(int parent[], int j)
{
// Base Case : If j is source
if (parent[j] == -1)
return;
printPath(parent, parent[j]);
printf("%d->", j);
}
// Function to print the constructed distance array
void printSolution(int dist[], int n, int parent[])
{
int src = 0;
printf("Vertex\t Distance\tPath");
for (int i = 1; i < V; i++)
{
printf("\n%d -> %d \t\t %d\t\t%d ",
src, i, dist[i], src);
printPath(parent, i);
}
}
// Function that implements Dijkstra's single source shortest path algorithm for a graph represented using adjacency matrix representation
void dijkstra(int graph[V][V], int src)
{
int dist[V]; // The output array. dist[i] will hold the shortest distance from src to i
bool sptSet[V]; // sptSet[i] will be true if vertex i is included in shortest
// path tree or shortest distance from src to i is finalized
// Parent array to store shortest path tree
int parent[V];
// Initialize all distances as INFINITE and stpSet[] as false
for (int i = 0; i < V; i++)
{
parent[0] = -1;
dist[i] = INT_MAX;
sptSet[i] = false;
}
// Distance of source vertex from itself is always 0
dist[src] = 0;
// Find shortest path for all vertices
for (int count = 0; count < V - 1; count++)
{
int u = minDistance(dist, sptSet);
sptSet[u] = true;
// Update dist[] value of the adjacent vertices of the picked vertex.
for (int v = 0; v < V; v++)
if (!sptSet[v] && graph[u][v] &&
dist[u] + graph[u][v] < dist[v])
{
parent[v] = u;
dist[v] = dist[u] + graph[u][v];
}
}
// print the constructed distance array
printSolution(dist, V, parent);
}
// driver program to test above function
int main()
{
/* Let us create the example graph discussed above */
int graph[V][V] = {{0, 4, 0, 0, 0, 0},
{4, 0, 8, 0, 0, 0},
{0, 8, 0, 7, 0, 4},
{0, 0, 7, 0, 9, 14},
{0, 0, 0, 9, 0, 10},
{0, 0, 4, 14, 10, 0}};
dijkstra(graph, 0);
return 0;
}
3.1 代码解析
首先定义了一个6个节点的图。然后在最开始，初始化了距离表，前驱表以及路径长度。这些向量用于存储每个节点到起点的距离以及路径。
```
int dist[V];
bool sptSet[V];
int parent[V];
for (int i = 0; i < V; i++)
{
parent[0] = -1;
dist[i] = INT_MAX;
sptSet[i] = false;
}
```
然后从起点开始，将距离设置为0。对于每个`count`，找到最小的距离节点并设置为`true`，表示该节点被访问过。然后这个最小距离节点的所有邻居被更新，以获得最短距离。`parent`向量用于记录最小距离和该节点之间的邻居。每个邻居的成本是当前节点结合邻居的成本，这被计算为`
dist[u] + graph[u][v] < dist[v]`。如果新的路径成本比存储的成本少，那么更新距离和前驱表。
```
for (int count = 0; count < V - 1; count++)
{
int u = minDistance(dist, sptSet);
sptSet[u] = true;
// Update dist[] value of the adjacent vertices of the picked vertex.
for (int v = 0; v < V; v++)
{
if (!sptSet[v] && graph[u][v] &&
dist[u] + graph[u][v] < dist[v])
{
parent[v] = u;
dist[v] = dist[u] + graph[u][v];
}
}
}
```
最后，函数打印最短路径以及路径长度。
```
printSolution(dist, V, parent);
```
4. 总结
本文介绍了最小成本路径问题的概念，分析了Dijkstra算法在该问题中的使用方法，并给出了一个C程序来解决这个问题。Dijkstra算法的时间复杂度为$O(n^2)$，不适用于大规模的图。使用堆可以提高计算效率，时间复杂度为$O(nlogn)$。最小成本路径问题是最短路径问题的一般化，解决此类问题是非常有用的，因为它们是优化问题的有力工具。