最小化通过给定源点到达目的地所需的字符串定义的步骤

什么是最小化通过给定源点到达目的地所需的字符串定义的步骤？

在计算机科学中，最短路径算法是一种用于计算两个节点之间的最短路径的算法。最小化通过给定源点到达目的地所需的字符串定义的步骤，是基于字符串编辑距离（string edit distance）的最短路径问题。字符串编辑距离是指将一个字符串转换为另一个字符串所需的最少操作次数，操作包括插入、删除和替换字符。通过求解最小化通过给定源点到达目的地所需的字符串定义的步骤，可以解决自然语言处理（NLP）中的词语纠错、语音识别中的噪音鲁棒性等问题。

字符串编辑距离的计算方法

朴素算法

朴素算法是将字符串编辑距离转化为两个字符串的最长公共子序列长度（longest common subsequence， LCS）。定义两个字符串s和t的LCS函数为s[i]和t[j]的最长公共前缀，即：

LCS(i, j) = 1 + LCS(i - 1, j - 1) if s[i] == t[j]

LCS(i, j) = max(LCS(i - 1, j), LCS(i, j - 1)) if s[i] ≠ t[j]

那么，字符串s和t的编辑距离就是s的长度加t的长度减去LCS函数的值，即：

ED(s, t) = |s| + |t| - 2 * LCS(|s|, |t|)

下面是朴素算法的C++代码：

int LCS(string s, string t) 

{ 
    int m = s.size(), n = t.size(); 
    vector> dp(m + 1, vector(n + 1, 0)); 
    for (int i = 1; i <= m; i++) 
    { 
        for (int j = 1; j <= n; j++) 
        { 
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) 
                dp[i][j] = 1 + dp[i - 1][j - 1]; 
            else 
                dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]); 
        } 
    } 
    return dp[m][n]; 
} 
int ED(string s, string t) 
{ 
    int lcs = LCS(s, t); 
    return s.size() + t.size() - 2 * lcs; 
} 

动态规划算法

动态规划算法是对朴素算法的优化。算法的思路是将字符串s转换为字符串t的过程划分为一系列的子问题。定义数组dp[i][j]表示将字符串s[1..i]转换成字符串t[1..j]所需的最少操作次数。

对于任意的位置i和j，有以下三种情况：

删除字符串s[i]，即dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1

在字符串s[i]后添加字符t[j]，即dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1

将字符串s[i]替换为t[j]，即dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + (s[i] == t[j] ? 0:1)

根据以上三种情况的转移方程，可以得出动态规划的C++代码：

int ED(string s, string t) 

{ 
    int m = s.size(), n = t.size(); 
    vector> dp(m + 1, vector(n + 1, 0)); 
    for (int i = 0; i <= m; i++) 
    { 
        for (int j = 0; j <= n; j++) 
        { 
            if (i == 0) 
                dp[i][j] = j; 
            else if (j == 0) 
                dp[i][j] = i; 
            else if (s[i - 1] == t[j - 1]) 
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]; 
            else 
                dp[i][j] = 1 + min(dp[i][j - 1], min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1])); 
        } 
    } 
    return dp[m][n]; 
} 

利用最短路径算法求解字符串编辑距离

现有图G，包含n个节点和m个有向边，表示从任意一个字符到另一个字符的编辑距离。每个字符被看作一个节点，边权值i->j表示将字符i转换为字符j所需的编辑距离。假设源点为字符a，目的地为字符b，现在需要求解从a到b的最短路径。

对于普通的最短路径问题，可以采用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法等解决。但对于字符串编辑距离的最短路径问题，这些算法并不适用。在最短路径问题中，边的权值为非负数，且边的加权累积和具有最优子结构性质。而字符串编辑距离的加权累积和不仅是非负数，还可能为负数，且不满足最优子结构性质。

由于无法采用传统的最短路径算法，可以利用广义最短路算法，如DSA（Damerau-Levenshtein Automaton）算法、APSP（All-pairs shortest paths，全源最短路径）算法等求解。

DSA算法采用了Damerau-Levenshtein距离算法（一种计算两个字符串间的编辑距离的算法），建立Damerau-Levenshtein自动机（DFA）。利用该DFA计算两个字符串间的最短距离。DSA算法具有时间复杂度O(n^2 alphabetsize)，其中n表示字符串的长度， alphabetsize表示字符集大小。

APSP算法可以求解任意两点间的最短路径。Floyd-Warshall算法和Johnson算法都是著名的APSP算法。这两种算法都采用了动态规划思想，但由于字符串编辑距离的特殊性质，需要对原算法进行改进。

Floyd-Warshall算法

Floyd-Warshall算法是一种经典的动态规划算法，用于计算所有节点之间的最短路径。对于两个字符串s和t，其长度分别为n和m，建立一个n+1行m+1列的邻接矩阵dist，其中dist[i][i]=0，dist[i][j]表示从字符串s[1..i]变成字符串t[1..j]所需的编辑距离，即dist[n][m]就是字符串和t的编辑距离。

int ED(string s, string t) 

{ 
    int n = s.size(), m = t.size(); 
    vector> dist(n + 1, vector(m + 1, 0)); 
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        dist[i][0] = i; 
    for (int j = 1; j <= m; j++) 
        dist[0][j] = j; 
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    { 
        for (int j = 1; j <= m; j++) 
        { 
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) 
                dist[i][j] = dist[i - 1][j - 1]; 
            else 
                dist[i][j] = 1 + min(dist[i][j - 1], min(dist[i - 1][j], dist[i - 1][j - 1])); 
        } 
    } 
    return dist[n][m]; 
}