1. 引言
在几何学中，有很多有趣的问题需要我们去探索和研究。其中一个很有趣的问题就是：在一个固定的直角三角形内，找到一最大的内切正方形，然后在这个正方形内构造鲁埃洛三角形。本文将详细探讨这个问题，并给出一个完整的解答。
2. 问题描述
给定一个直角三角形ABC，其中$\angle{C}=90^\circ$，$\overline{AB}$为斜边，设正方形PQRS内切于该三角形，且P落于$\overline{AC}$上。在正方形PQRS内，构造$\triangle{DEF}$，使得$\angle{DEF}=90^\circ$，$\angle{EFP}=\angle{PFR}$，$\angle{FDP}=\angle{QFP}$，$\angle{EDF}=\angle{SRF}$。
我们需要求解$\triangle{DEF}$的边长。
3. 解决方案
3.1 根据几何关系列出方程
首先，我们需要明确一些几何关系。如图所示：
由于正方形PRQS内切于直角三角形ABC，我们可以推导出以下的方程：
PR = AQ + QB
PR = PS + SR
我们又可以发现$\angle{EFP}=\angle{PFR}$，因此，可得
EF/FP = FP/FR
EF = (FP)^2/FR
同理，我们可以推得
DF/DP = DP/DQ
DF = (DP)^2/DQ
EF/DF = SR/PS
EF*PS = DF*SR
因为正方形PRQS还内切于圆O，所以可以得到
PS = 2r
QR = r + AQ = r + PB = r + SQ
代入前面的方程，可以得到：
PS + SR = AQ + QB + SR
2r + SR = QR + AQ
SR = QR - 2r - AQ
此时，我们需要求解EF和DF的值。我们可以将之前推导的方程代入，并整合，得到：
EF = FP2/FR = FP2/(PR - PS) = FP2/(QR - 3r)
DF = DP2/DQ = DP2/(PR - SR) = DP2/(QR - r - AQ)
3.2 代入数据解方程求解
接下来，我们需要将数值代入前面的方程，求解出$\triangle{DEF}$的边长。设三角形ABC中$\angle{A}=30^\circ$，则有：
PB = AQ = r
PS = 2r
AQ = PB = r
QR = PR = $\sqrt{2}r + r/\sqrt{2} = r(1 + \sqrt{2})
代入之前推导的方程，得到：
EF = (QR - 3r)/(1 + (FP/QR)2)
DF = (QR - r - AQ)/(1 + (DP/QR)2)
此时，我们需要求解FP和DP的值。因为三角形DEF在正方形PQRS中，所以可以得到：
FP = PQ - FQ
DP = DQ - PQ
由于正方形PQRS的边长为$2r$，所以：
PQ = PR/\sqrt{2} = r(1 + \sqrt{2})/\sqrt{2}
FQ = PQ/\sqrt{2} = r(1 + \sqrt{2})/2\sqrt{2}
DQ = QR/\sqrt{2} = r(1 + \sqrt{2})\sqrt{2}
最终，我们可以得到：
FP = r(3 - \sqrt{2})
DP = r(1 + \sqrt{2})\sqrt{2} - r(1 + \sqrt{2})/\sqrt{2} = r(3\sqrt{2} - 2)
代入前面的方程，得到：
EF = r(3\sqrt{2} - 4)
DF = r(\sqrt{2} - 1)
4. 结论
综上所述，我们可以得到最大的内切于直角三角形的正方形内的鲁埃洛三角形的边长为：
EF = r(3\sqrt{2} - 4)
DF = r(\sqrt{2} - 1)
其中，r为内切正方形的边长。
5. 总结
本文详细探讨了在最大的内切于直角三角形的正方形内构造鲁埃洛三角形的问题，并给出了解决方案。通过几何关系的分析，我们得到了方程，然后通过代入数据求解得到了最终结果。通过这个问题的探索，不仅能够提高我们对几何学的认识，还可以锻炼我们的计算能力和解决问题的思维能力。