排序二进制字符串所需删除的最小字符数

给定一个由0和1组成的二进制字符串，每次可以删除一个字符。要求删除尽可能少的字符，使得剩余的字符串按升序排列。

问题背景

升序排列的二进制字符串表示2的幂次方的递增序列，例如：0, 1, 10, 11, 100, 101, ...。

问题分析

将字符串排序，即将其转换为二进制数后排序。为了满足升序排列，需要保证左侧有高位的数较大。例如，0010和1010，左侧1的位置相同，左侧高位的数10大于01。因此，需要从左往右扫描字符串，找到第一对逆序相邻字符，将其删除，再检查前面的字符是否逆序相邻。

问题解决

以下为C++示例代码：

int minDeletions(string s) {

    int n = s.size();
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (s[i] <= s[i - 1]) {
            cnt++;
            s[i] = '0';
        }
    }
    return cnt;
}

首先定义变量n为字符串长度，变量cnt为删除的字符数。从第二个字符开始，每次比较当前字符和前一个字符的大小，并将较小的字符删除。如果相等，则将当前字符设为'0'。最后返回删除字符的数量。

算法分析

该算法的时间复杂度为O(n)，其中n为字符串长度。扫描字符串最多执行n-1次，因此时间复杂度与字符串长度成正比。

算法优化

该算法重复删除了一些字符，可以通过记录删除次数来避免重复删除。例如，在删除一个字符之前需要检查前面的字符，如果已经删除了前面的字符，则无需再次检查。

以下为优化后的C++示例代码：

int minDeletions(string s) {

    int n = s.size();
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (s[i] <= s[i - 1]) {
            if (i - 2 >= 0 && s[i - 2] == '0') {
                cnt++;
            } else {
                s[i] = '0';
                cnt++;
            }
        }
    }
    return cnt;
}

在比较当前字符和前一个字符时，如果前一个字符已经被删除，则直接将当前字符设为'0'，否则再删除前一个字符。

结论

通过扫描字符串并删除逆序相邻字符的方式，可以实现将二进制字符串按升序排列。该算法的时间复杂度为O(n)。通过优化算法，可以避免重复删除字符，进一步提高算法效率。