1. 前言
在计算机科学的许多应用中，点是数据结构中最基本的元素之一。在二维平面上，一个点由它的坐标表示，即(x, y)，其中x表示水平方向的位置，y表示垂直方向的位置。在某些情况下，我们希望找到在某个点的上方、下方、左方或右方的点的数量。本文将介绍一种解决这个问题的方法，同时提供C++代码来实现它。
2. 问题描述
给定平面上的N个点，坐标分别为(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)。接下来，对于每个点，需要计算在其上方、下方、左方或右方的点的数量。在这里，如果一个点在另一个点的上方，那么它的y坐标比另一个点高；如果一个点在另一个点的下方，那么它的y坐标比另一个点低；如果一个点在另一个点的左侧，那么它的x坐标比另一个点小；如果一个点在另一个点的右侧，那么它的x坐标比另一个点大。
2.1 示例
以下是一个示例，说明了如何计算在每个点的上方、下方、左方或右方的点的数量。
// Input
int N = 6;
vector<pair<int, int>> points{{0, 0}, {1, 2}, {-1, 2}, {2, 0}, {-2, 0}, {0, -2}};
// Output
vector<int> upDownLeftRightCounts{2, 1, 1, 2, 2, 1};
输入包含6个点，坐标分别为(0, 0), (1, 2), (-1, 2), (2, 0), (-2, 0)和(0, -2)。对于每个点，upDownLeftRightCounts向量中的元素表示在其上方、下方、左方或右方的点的数量，顺序为上、下、左、右。例如，对于第一个点(0, 0)，其上方、下方、左方和右方有2、0、2、0个点，分别对应upDownLeftRightCounts的前两个和后两个元素。
3. 解决方案
有许多方法可以解决这个问题，包括扫描线算法、计算凸包或分治算法。在这里，我们将介绍一种朴素但有效的算法，其时间复杂度为O(N^2)，其中N为点的数量。在C++中实现这个算法非常简单。
3.1 算法
对于每个点，我们可以遍历其他所有点，并使用计数器记录在其上方、下方、左方或右方的点的数量。可以将计数器的初始值设置为0，然后遍历所有点。假设当前点是(p1, p2)，下一个点是(q1, q2)。如果q2 > p2，则将上方计数器加1；如果q2 < p2，则将下方计数器加1；如果q1 < p1，则将左侧计数器加1；如果q1 > p1，则将右侧计数器加1。完成对所有点的遍历后，我们可以将计数器的值存储在一个向量中，以便对每个点进行访问。
3.2 时间复杂度
因为我们需要遍历所有点，所以该算法的时间复杂度为O(N^2)，其中N为点的数量。但是，由于在解决这个问题时需要遍历所有点，因此这种朴素的算法是完全可行的，即使在大数据集上也是如此。
4. 代码实现
下面是使用C++实现上述算法的示例代码。
vector<int> getUpDownLeftRightCounts(const vector<pair<int, int>>& points) {
int N = (int)points.size();
vector<int> upDownLeftRightCounts(N, 0);
for (int i = 0; i < N; i++) {
int up = 0, down = 0, left = 0, right = 0;
for (int j = 0; j < N; j++) {
if (i == j) continue;
int dx = points[j].first - points[i].first;
int dy = points[j].second - points[i].second;
if (dy > 0) up++;
else if (dy < 0) down++;
if (dx < 0) left++;
else if (dx > 0) right++;
}
upDownLeftRightCounts[i] = up * 1000 + down * 100 + left * 10 + right;
}
return upDownLeftRightCounts;
}
在这里，我们使用一个整数来存储计数器。我们将每个计数器乘以不同的权重(1000、100、10、1)，然后将它们相加。假设当前点有2个在其上方、1个在其下方、1个在其左侧和3个在其右侧，那么计数器的值将为2130。这是一个常见的技巧，可以将多个计数器合并为一个整数。
5. 总结
在这篇文章中，我们介绍了一种简单但有效的方法，用于计算在平面上点的上方、下方、左方或右方的点的数量。尽管这种朴素的算法的时间复杂度为O(N^2)，但它在大数据集上也是完全可行的。此外，我们还提供了C++代码，以便读者们可以轻松地将其实现。