将阶乘n表示为连续数字的和

1. 前言

阶乘是高等数学中经常用到的概念，指的是连续的整数相乘的积。通常用符号 n! 来表示，它表示从1到n的所有自然数的积。但是，我们可不可以将阶乘表示为连续数字的和呢？这是一个有趣且富有挑战性的问题。在本文中，我们将介绍如何将阶乘n表示为连续数字的和。

2. 阶乘定义

在阐述如何将阶乘表示为连续数字的和之前，让我们先回忆一下阶乘的定义。如前所述，阶乘n表示从1到n的所有自然数的积。具体而言，

int factorial(int n)
{
    int result = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        result *= i;
    }
    
    return result;
}

将该函数求解得到的结果就是阶乘n。

3. 将阶乘表示为连续数字的和

3.1 对于偶数n的情况

对于偶数n，我们可以试着将其分解为连续数字的和。具体而言，我们将n分解为如下三个数的和：

n / 2 + n / 2, -1, -2

其中-1和-2是用来对齐的。例如，当n=6时，我们可以得到：

6! = 3! * 4 * 5 * 6 = (1 + 2 + 3) * 4 * 5 * 6 = 6 + (...) + (-1) + (-2)

那么，这个方法为什么是正确的呢？注意到，对于一个偶数n，我们有：

n! = (n / 2)! * ((n / 2) + 1) * ((n / 2) + 2) * ... * n

可以发现，将n分解为n / 2 + n / 2是为了利用这个公式。首先，(n / 2)! 对应的是 n / 2 及其以下的所有自然数的阶乘的乘积，而 ((n / 2) + 1) * ((n / 2) + 2) * ... * n 对应的是从 (n / 2) + 1 到 n 的连续数字的积，也就是我们要得到的那个连续数字的和。因此，n! 可以表示为(n / 2 + ...) + (-1) + (-2)的形式。

3.2 对于奇数n的情况

对于奇数n，我们可以试着将其分解为连续数字的和，与3.1的方法类似。具体而言，我们将n分解为如下三个数的和：

n, -(n-1), (n-2) + (n-3) + ... + 1

那么，这个方法为什么是正确的呢？注意到，对于一个奇数n，我们有：

n! = (n-1)! * n

现在的问题是如何表示(n-1)!。注意到，(n-1)! 实际上是将 n-1 分解为连续数字的和然后相乘得到的。因此，

(n-1)! = ([(n-1) / 2] + ... + 3 + 2 + 1) * ([(n-1) / 2] + ... + -2 + -1)

那么，我们可以将n! 表示为：

n! =  (n * (n-2) * (n-4) * ... * 1) + [(-(n-1)) * ((n-1)/2)] + ([(n-2) + (n-3) + ... + 1])

4. 结语

本文介绍了如何将阶乘表示为连续数字的和，包括对于偶数n和奇数n的两种情况。这个问题看似简单，实则具有挑战性。通过这个问题，我们不仅可以练习数学技能，还可以拓展我们的思维方式。