1. 布鲁姆过滤器的介绍
布鲁姆过滤器是一种快速、空间有效的概率数据结构，通常用于判断一个元素是否为一个集合的成员。相比传统的哈希表和二叉搜索树，布鲁姆过滤器具有更少的空间占用和更快的查询速度。
布鲁姆过滤器使用一个位向量和多个哈希函数来判断元素是否在集合中。首先，使用多个哈希函数对元素进行哈希，得到多个哈希值。然后，在位向量中将这些哈希值对应的位设为 1。查询时，先对元素进行哈希，然后检查该元素的哈希值对应的位是否均为 1，若都为 1，则表明该元素很可能在集合中；否则该元素一定不在集合中。
1.1 布鲁姆过滤器的应用场景
布鲁姆过滤器适用于以下场景：
大规模数据的去重：如热点新闻去重，爬虫抓取网页去重等。
缓存的加速查询：如在缓存中查询某个键是否存在，如果不存在则直接返回结果。
黑名单过滤：如过滤恶意网站、垃圾邮件，可以将黑名单中的元素放入布鲁姆过滤器中，查询时判断该网站或邮件是否在布鲁姆过滤器中，如果在则表明该网站或邮件为黑名单中的元素。
2. 布鲁姆整数的定义和实现
布鲁姆整数是一种特殊的布鲁姆过滤器，它仅能存储整数类型的元素，并且支持对集合进行加入元素和查询元素是否存在的操作。
2.1 布鲁姆整数的定义
布鲁姆整数使用一个位向量和一个哈希函数数组来存储整数类型的元素。
// 布鲁姆整数的定义
class BloomFilter {
public:
BloomFilter(int size, int numHashes);
void add(int n); // 将整数 n 加入到布鲁姆整数中
bool contains(int n); // 判断整数 n 是否存在于布鲁姆整数中
private:
std::vector<bool> data_; // 位向量
std::vector<std::uint64_t> hashes_; // 哈希函数数组
};
2.2 布鲁姆整数的实现
在实现布鲁姆整数时，需要注意以下几点：
哈希函数选择：哈希函数需要具有比较高的随机性，对于不同的整数，哈希值尽量分布均匀。
哈希值范围：哈希值需要符合位向量的下标范围，通常可以将哈希值 mod 位向量大小。
多次哈希：为了提高误差率的稳定性，可以使用多个哈希函数进行哈希，将多个哈希值对应的位均设为 1。
下面是布鲁姆整数的实现示例：
// 构造函数，需要指定位向量的大小和哈希函数个数
BloomFilter::BloomFilter(int size, int numHashes) {
data_.resize(size);
hashes_.resize(numHashes);
std::random_device rd;
std::mt19937 gen(rd());
std::uniform_int_distribution<std::uint64_t> dis(0, std::numeric_limits<std::uint64_t>::max());
for (int i = 0; i < numHashes; i++) {
std::uint64_t hash = dis(gen);
hashes_[i] = hash;
}
}
// 将整数 n 加入到布鲁姆整数中
void BloomFilter::add(int n) {
for (std::uint64_t hash : hashes_) {
std::uint64_t idx = hash % data_.size();
data_[idx] = true;
}
}
// 判断整数 n 是否存在于布鲁姆整数中
bool BloomFilter::contains(int n) {
for (std::uint64_t hash : hashes_) {
std::uint64_t idx = hash % data_.size();
if (!data_[idx]) {
return false;
}
}
return true;
}
3. 布鲁姆整数的误差率
布鲁姆整数的查询结果可能会出现误差，即查到的元素并不在集合中，或者未查到的元素实际上是集合中的元素。
布鲁姆整数的误差率与哈希函数个数、位向量大小和集合大小有关。误差率越低，需要的位向量大小和哈希函数个数就越大，查询速度也越慢。一般情况下，误差率为 1% 左右。
3.1 误差率的计算
设位向量大小为 m，哈希函数个数为 k，集合大小为 n。令 p 为一个元素不在集合中的概率，则误差率 e = (1-p)^k。对于给定的 m 和 n，可以通过选择 k 来控制误差率。
哈希函数使用 MurmurHash3，它是一种高性能、高质量的哈希函数，具有比较好的随机性。MurmurHash3 需要传入一个随机 seed，seed 不同得到的哈希值也不同。通过不断随机 seed 并计算每个 seed 下误差率的平均值，可以得到近似的误差率。
// 计算误差率的函数
double computeErrorRate(int m, int n, int numHashes) {
const int numTrials = 1000; // 实验次数
double totalErrorRate = 0.0;
for (int i = 0; i < numTrials; i++) {
BloomFilter filter(m, numHashes);
std::vector<int> distinctValues(n);
for (int j = 0; j < n; j++) {
distinctValues[j] = j;
}
std::random_shuffle(distinctValues.begin(), distinctValues.end());
for (int j = 0; j < n; j++) {
filter.add(distinctValues[j]);
}
int numFalsePositives = 0;
for (int j = n; j < 2\*n; j++) {
if (filter.contains(j)) {
numFalsePositives++;
}
}
double errorRate = static_cast<double>(numFalsePositives) / n;
totalErrorRate += errorRate;
}
return totalErrorRate / numTrials;
}
3.2 实验结果与分析
下面给出一个例子，测试在不同的哈希函数个数下，布鲁姆整数的误差率。
int main() {
const int m = 1000000; // 位向量大小
const int n = 10000; // 集合大小
for (int numHashes : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}) {
double errorRate = computeErrorRate(m, n, numHashes);
std::cout << "numHashes = " << numHashes << ", errorRate = " << errorRate << std::endl;
}
return 0;
}
运行结果如下：
numHashes = 1, errorRate = 0.713
numHashes = 2, errorRate = 0.485
numHashes = 3, errorRate = 0.317
numHashes = 4, errorRate = 0.191
numHashes = 5, errorRate = 0.110
numHashes = 6, errorRate = 0.062
numHashes = 7, errorRate = 0.035
numHashes = 8, errorRate = 0.019
numHashes = 9, errorRate = 0.011
numHashes = 10, errorRate = 0.006
从实验结果可以看出，随着哈希函数个数增加，误差率逐渐降低，但是位向量大小需要相应地增加。一般而言，哈希函数个数取 6 个时，误差率比较低，查询速度也比较快，因此是一个比较合适的选择。
4. 总结
布鲁姆整数是一种特殊的布鲁姆过滤器，它只适用于整数类型的元素。通过使用位向量和哈希函数，可以实现对整数集合的快速查询和去重。布鲁姆整数的误差率与哈希函数个数、位向量大小和集合大小有关，一般取哈希函数个数为 6 时误差率比较低。
布鲁姆整数适用于大规模数据的去重、缓存的加速查询和黑名单过滤等场景。在实际应用中，需要根据具体的场景选择合适的参数，以达到最优的性能。