威尔士-鲍威尔图着色算法

1. 前言

威尔士-鲍威尔图着色算法（Welsh-Powell Algorithm）是一种用于给无向图着色的方法。

2. 原理

该算法基于贪心策略，它首先为图中的每个顶点分配一个“顶点度”的值，即该顶点与其他顶点之间的连线数量。然后，算法将顶点排序，按照“顶点度”从大到小的顺序进行排序。最后，按照排好序的顺序为每个顶点进行着色，同时确保相邻的顶点不能使用相同的颜色。

2.1 着色过程

着色过程的具体实现如下：

// 首先，将每个顶点按照度数从大到小进行排序
sort(vertices.begin(), vertices.end(), greater<int>());
// 将可用的颜色数初始化为所有颜色
int availColors = numColors;
// 为每个顶点进行着色
for (int i = 0; i < N; i++) {
    // 如果当前顶点的颜色已经被分配，跳过
    if (colors[i] != -1) continue;
    // 否则，找到当前可用的最小颜色
    int j;
    for (j = 0; j < availColors; j++) {
        bool colorAvailable = true;
        for (int k = 0; k < N; k++) {
            if (graph[i][k] and colors[k] == j) {
                colorAvailable = false;
                break;
            }
        }
        if (colorAvailable) break;
    }
    // 将当前顶点着色为可用的最小颜色
    colors[i] = j;
    // 更新可用的颜色数
    if (j == availColors - 1 and availColors < numColors) {
        availColors++;
    }
}

2.2 复杂度分析

该算法的时间复杂度为O(N^2)，其中N表示图的顶点数。

3. 示例

以下是一个简单的示例，演示了如何使用威尔士-鲍威尔图着色算法为无向图进行着色。

3.1 图形表示

下图表示了一个无向图，其中顶点按照“顶点度”从大到小排序：

![alt text][figure]

[figure]: https://i.imgur.com/7fz6YK6.png "Sample Graph"

3.2 成功着色

使用威尔士-鲍威尔图着色算法，可以得到如下成功的着色结果：

![alt text][colored]

[colored]: https://i.imgur.com/yA84WvR.png "Colored Graph"

4. 结论

威尔士-鲍威尔图着色算法是一种简单、有效的方法，可以用于为无向图着色。它的时间复杂度比其他图着色算法更低，因此在实际应用中非常有用。