C++程序以找出通过交换行和列可以生成的唯一矩阵的数量

介绍

在计算机科学和数学中，矩阵交换和排列是很常见的问题。这篇文章将讨论如何使用C ++编写程序来找出通过交换行和列可以生成的唯一矩阵的数量。我们将使用适当的算法和数据结构来解决问题。

问题分析

对于一个N x M的矩阵，我们可以通过交换它的行和列来创建新的矩阵。但是，我们只对矩阵的唯一表示感兴趣，即我们只对不同的矩阵感兴趣。请注意，改变矩阵的行或列顺序不会改变其不同的表示。

考虑一个例子：假设我们有以下3 x 3矩阵：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

我们可以通过交换行和列得到以下不同的矩阵：

1 3 2
7 9 8
4 6 5

当我们数唯一的矩阵时，我们不考虑行和列的顺序。因此，上面的矩阵是与下面的矩阵相同的：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

对于任意大小的矩阵，我们可以使用类似的方法计算它的唯一表示的数量。现在让我们来考虑如何编写C ++程序来解决这个问题。

解决方案

算法概述

我们可以使用 permutations（排列）和 combinations（组合）来解决这个问题，但是这些算法的复杂度非常高。幸运的是，有一个更有效的方法来解决这个问题。

我们可以首先计算矩阵的行和列的置换群。然后应用Burnside引理来计算唯一的矩阵的数量。Burnside引理用于计算表示相等类的数量，其中两个对象在对称变换下等效。

关于置换群的计算方法

我们可以使用对称群中的置换来表示矩阵的置换群。我们可以使用C ++ STL的next_permutation函数来生成所有的置换。

为了避免计算两个等效的置换，我们可以对置换进行排序。此外，我们可以缓存已经计算的置换，以避免重复计算。

下面是一个实现矩阵置换群计算的示例代码：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef vector> matrix;
typedef vector permutation;
vector row_permutations(int n) {
    vector v(n);
    vector perms;
    for (int i = 0; i < n; i++) v[i] = i;
    do {
        perms.push_back(permutation(v.begin(), v.end()));
    } while (next_permutation(v.begin(), v.end()));
    sort(perms.begin(), perms.end());
    perms.erase(unique(perms.begin(), perms.end()), perms.end());
    return perms;
}
vector col_permutations(int n) {
    vector perms = row_permutations(n);
    for (auto& perm : perms) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            swap(perm[i], perm[n * i]);
        }
    }
    return perms;
}
vector permutations(const matrix& A) {
    const int n = A.size(), m = A[0].size();
    vector perms = row_permutations(n);
    for (auto& perm : perms) {
        matrix B(n, vector(m));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                B[i][j] = A[perm[i]][j];
            }
        }
        auto cp = col_permutations(m);
        for (auto& cperm : cp) {
            matrix C(n, vector(m));
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                for (int j = 0; j < m; j++) {
                    C[i][j] = B[i][cperm[j]];
                }
            }
            perms.push_back(permutation(C.begin(), C.end()));
        }
    }
    sort(perms.begin(), perms.end());
    perms.erase(unique(perms.begin(), perms.end()), perms.end());
    return perms;
}

计算Burnside引理的实现

现在我们已经有了计算矩阵置换群的函数，我们可以使用Burnside引理计算矩阵的不同表示的数量。

下面是计算Burnside引理的函数的示例代码：

int count_unique(const matrix& A) {
    const int n = A.size(), m = A[0].size();
    map mp;
    for (auto& perm : permutations(A)) {
        mp[perm]++;
    }
    int cnt = 0;
    for (auto& [perm, size] : mp) {
        matrix B(n, vector(m));
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                B[i][j] = A[perm[i]][j];
            }
        }
        cnt += size == permutations(B).size();
    }
    return cnt;
}

总结

在这篇文章中，我们讨论了如何使用C ++编写程序来解决生成唯一矩阵的问题。我们讨论了矩阵置换群的计算方法和Burnside引理的实现。使用这些算法和数据结构，我们可以编写一个有效的程序来解决这个问题。