C++ 允许多步或跳跃的迷宫中的老鼠

1. Introduction

迷宫问题一直都是计算机科学与算法设计中经典问题之一。迷宫中的老鼠指的是在迷宫中寻找出路的问题，这是一个解决困局问题的经典案例。

2. 老鼠走迷宫问题

老鼠走迷宫问题指的是在一个迷宫中，老鼠从迷宫的起点出发，并且需要找到一条通向迷宫出口的路径。迷宫由多个坐标构成，其中一些坐标是障碍，老鼠需要绕过障碍才能到达终点。该问题可以通过图论和计算机程序来解决。

2.1 迷宫的表示

迷宫可以使用二维数组表示，其中0代表可以通过，1代表障碍。老鼠一开始在起点(0, 0)，终点在终点(m, n)。

const int N = 105;
int a[N][N];
int m, n; // m - 行数, n - 列数
struct point {
    int x, y;
};
point st, ed;

2.2 DFS

DFS是一种通过递归来遍历所有的状态的算法。该算法在每次寻路时，选择某个方向前进直到走到底或者碰到墙壁并返回，在继续遍历其他的方向。如果我们到达了目标单元，则该路径是可行的，否则就需要尝试其他的路径。

const int N = 105;
int a[N][N], vis[N][N];
int m, n; // m - 行数, n - 列数
struct point {
    int x, y;
};
point st, ed;
int dx[] = {1, -1, 0, 0}, dy[] = {0, 0, 1, -1}; // 表示四个移动方向：上下左右
bool dfs(int x, int y) {
    if (x == ed.x && y == ed.y) return true; // 回溯的终点, 若(x,y)碰到终点, 返回真
    if (vis[x][y] == 1 || a[x][y] == 1) return false; // 该点被访问过或该点为障碍返回假
    vis[x][y] = 1; // 标记(x,y)被访问过
    for (int i = 0; i < 4; i++) { 
        int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i]; // 访问该点四周的四个点
        if (dfs(nx, ny)) return true; // 递归继续访问下一个点
    }
    return false;
}

2.3 BFS

BFS是一个预处理的算法。该算法将搜索结构建立在一个图形化的数据结构上，它是一层一层地扩大搜索范围，从而找到目标单元。我们可以使用队列来实现BFS。

const int N = 105;
int a[N][N], vis[N][N];
int m, n; // m - 行数, n - 列数
struct point {
    int x, y, step;
};
point st, ed;
int dx[] = {1, -1, 0, 0}, dy[] = {0, 0, 1, -1}; // 表示四个移动方向：上下左右
int bfs() {
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    queue q;
    q.push({st.x, st.y, 0});
    vis[st.x][st.y] = 1; // 标记起点
    while (!q.empty()) {
        point t = q.front();
        q.pop();
        if (t.x == ed.x && t.y == ed.y) return t.step; // 找到终点
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            int nx = t.x + dx[i], ny = t.y + dy[i];
            if (vis[nx][ny] == 0 && a[nx][ny] == 0 && nx >= 0 && nx < m && ny >= 0 && ny < n) {
                vis[nx][ny] = 1;
                q.push({nx, ny, t.step + 1}); // 将移动点加入队列，并将当前步数+1
            }
        }
    }
    return -1; // 无解
}

2.4 多步跳跃

我们可以通过增加老鼠跳跃的次数来增加路径的长度。多步跳跃可以理解为每次老鼠可以通过跳跃方式向前移动多个单位长度。例如，如果老鼠可以跳跃两个格子，那么在检查下一格之前，它将跳过该格并移动两个格子到达下一个目的地。

const int N = 105;
int a[N][N], vis[N][N];
int m, n; // m - 行数, n - 列数
struct point {
    int x, y, step;
};
point st, ed;
int dx[] = {2, -2, 0, 0}, dy[] = {0, 0, 2, -2}; // 四个移动方向：上下左右
int bfs() {
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    queue q;
    q.push({st.x, st.y, 0});
    vis[st.x][st.y] = 1; // 标记起点
    while (!q.empty()) {
        point t = q.front();
        q.pop();
        if (t.x == ed.x && t.y == ed.y) return t.step; // 找到终点
        for (int i = 0; i < 4; i++) {
            for (int j = 1; j <= step; j++) { // 多步跳跃
                int nx = t.x + dx[i] * j, ny = t.y + dy[i] * j;
                if (vis[nx][ny] == 0 && a[nx][ny] == 0 && nx >= 0 && nx < m && ny >= 0 && ny < n) {
                    vis[nx][ny] = 1;
                    q.push({nx, ny, t.step + 1}); // 将移动点加入队列，并将当前步数+1
                } else {
                    break;
                }
            }
        }
    }
    return -1; // 无解
}

3. 结论

通过多步跳跃算法，我们可以快速地解决老鼠走迷宫的问题。该算法可以通过BFS或DFS来实现，具有较高的效率和可行性。