计算L到R之间二进制转换后的质数个数
1. 题目背景
二进制转换是计算机领域的基础知识,它是将一个十进制数字转换为二进制数的过程。在这个过程中,我们还需要将该数转换为其他进制的数字。在本题中,我们需要将输入的二进制数转换成L到R之间的另一个进制数,并判断其中共有多少个质数。
2. 解题思路
2.1 二进制转换为某进制数
在计算机系统中,二进制系统是最基础的数学体系。由于计算机中存储和处理的数据都是二进制数,因此二进制转换也是重要的基础知识。
二进制转换为某进制数,可以用“除基取余,倒序排列”的方法。
string convert(int num, int base) {
string ret = "";
int rem;
while (num > 0) {
rem = num % base;
if (rem >= 10) {
ret = (char)('A' + (rem - 10)) + ret;
} else {
ret = to_string(rem) + ret;
}
num /= base;
}
return ret;
}
上述代码中,num为需要转换的十进制数,base为目标进制数。
2.2 判断是否为质数
质数又称素数,它是指除了1和它本身以外,不能被其他正整数整除的整数。
判断一个数是否为质数,可以用“试除法”或者“埃氏筛法”。
bool is_prime(int num) {
if (num < 2) return false;
for (int i = 2; i <= sqrt(num); ++i) {
if (num % i == 0) return false;
}
return true;
}
试除法:对于一个数n,如果它大于2且小于n的平方根,且n能被这个数整除,则n不是质数。如果n不能被任何小于根号n的数整除,则n是质数。
埃氏筛法:将要查找的数列先构造出来,然后按照顺序,从2开始,把每个质数的倍数都标记成合数,直到无法继续为止。此时,所有未被标记的数字即为质数。
3. 完整代码实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
string convert(int num, int base) {
string ret = "";
int rem;
while (num > 0) {
rem = num % base;
if (rem >= 10) {
ret = (char)('A' + (rem - 10)) + ret;
} else {
ret = to_string(rem) + ret;
}
num /= base;
}
return ret;
}
bool is_prime(int num) {
if (num < 2) return false;
for (int i = 2; i <= sqrt(num); ++i) {
if (num % i == 0) return false;
}
return true;
}
int main() {
int L, R, base, cnt = 0;
cin >> L >> R >> base;
string binary = convert(L, 2);
for (int i = L + 1; i <= R; ++i) {
string num = convert(i, base);
int sum = 0;
for (int j = 0; j < num.size(); ++j) {
int n = (num[j] >= 'A' ? num[j] - 'A' + 10 : num[j] - '0');
sum = sum * base + n;
}
if (sum == 0 || sum == 1 || !is_prime(sum)) continue;
int x = sum;
bool flag = true;
while (x > 0) {
int bit = x & 1;
if (bit != binary[x % binary.size()] - '0') {
flag = false;
break;
}
x /= 2;
}
if (flag) ++cnt;
}
cout << cnt << endl;
return 0;
}
4. 解题步骤
本题需要按照以下步骤来解题:
4.1 将L转换为二进制数
首先需要将L转换成二进制数,以便后面判断。
string binary = convert(L, 2);
4.2 循环,将每个数字转换为目标进制数
从L + 1开始,循环到R,将每个数字转换为目标进制数。
for (int i = L + 1; i <= R; ++i) {
string num = convert(i, base);
// ...
}
4.3 将目标进制数转换为十进制数
将目标进制数转换为十进制数,并判断是否为质数。
int sum = 0;
for (int j = 0; j < num.size(); ++j) {
int n = (num[j] >= 'A' ? num[j] - 'A' + 10 : num[j] - '0');
sum = sum * base + n;
}
if (sum == 0 || sum == 1 || !is_prime(sum)) continue;
4.4 判断二进制数是否与L的二进制数相同
如果是质数,就将该数转换为二进制数,判断是否与L的二进制数相同。
int x = sum;
bool flag = true;
while (x > 0) {
int bit = x & 1;
if (bit != binary[x % binary.size()] - '0') {
flag = false;
break;
}
x /= 2;
}
if (flag) ++cnt;
5. 总结
本题要求将二进制数转换为L到R之间的一个进制数,再判断其中有多少个质数。本文通过介绍了二进制转换和判断质数的方法,给出了完整的解题思路和代码实现。在实际使用中,除了上述方法,还可以使用Sieve、欧拉筛等方法来提高计算效率。