计算L到R之间二进制转换后的质数个数

1. 题目背景

二进制转换是计算机领域的基础知识，它是将一个十进制数字转换为二进制数的过程。在这个过程中，我们还需要将该数转换为其他进制的数字。在本题中，我们需要将输入的二进制数转换成L到R之间的另一个进制数，并判断其中共有多少个质数。

2. 解题思路

2.1 二进制转换为某进制数

在计算机系统中，二进制系统是最基础的数学体系。由于计算机中存储和处理的数据都是二进制数，因此二进制转换也是重要的基础知识。

二进制转换为某进制数，可以用“除基取余，倒序排列”的方法。

string convert(int num, int base) {
    string ret = "";
    int rem;
    while (num > 0) {
        rem = num % base;
        if (rem >= 10) {
            ret = (char)('A' + (rem - 10)) + ret;
        } else {
            ret = to_string(rem) + ret;
        }
        num /= base;
    }
    return ret;
}

上述代码中，num为需要转换的十进制数，base为目标进制数。

2.2 判断是否为质数

质数又称素数，它是指除了1和它本身以外，不能被其他正整数整除的整数。

判断一个数是否为质数，可以用“试除法”或者“埃氏筛法”。

bool is_prime(int num) {
    if (num < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= sqrt(num); ++i) {
        if (num % i == 0) return false;
    }
    return true;
}

试除法：对于一个数n，如果它大于2且小于n的平方根，且n能被这个数整除，则n不是质数。如果n不能被任何小于根号n的数整除，则n是质数。

埃氏筛法：将要查找的数列先构造出来，然后按照顺序，从2开始，把每个质数的倍数都标记成合数，直到无法继续为止。此时，所有未被标记的数字即为质数。

3. 完整代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
string convert(int num, int base) {
    string ret = "";
    int rem;
    while (num > 0) {
        rem = num % base;
        if (rem >= 10) {
            ret = (char)('A' + (rem - 10)) + ret;
        } else {
            ret = to_string(rem) + ret;
        }
        num /= base;
    }
    return ret;
}
bool is_prime(int num) {
    if (num < 2) return false;
    for (int i = 2; i <= sqrt(num); ++i) {
        if (num % i == 0) return false;
    }
    return true;
}
int main() {
    int L, R, base, cnt = 0;
    cin >> L >> R >> base;
    string binary = convert(L, 2);
    for (int i = L + 1; i <= R; ++i) {
        string num = convert(i, base);
        int sum = 0;
        for (int j = 0; j < num.size(); ++j) {
            int n = (num[j] >= 'A' ? num[j] - 'A' + 10 : num[j] - '0');
            sum = sum * base + n;
        }
        if (sum == 0 || sum == 1 || !is_prime(sum)) continue;
        int x = sum;
        bool flag = true;
        while (x > 0) {
            int bit = x & 1;
            if (bit != binary[x % binary.size()] - '0') {
                flag = false;
                break;
            }
            x /= 2;
        }
        if (flag) ++cnt;
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

4. 解题步骤

本题需要按照以下步骤来解题：

4.1 将L转换为二进制数

首先需要将L转换成二进制数，以便后面判断。

string binary = convert(L, 2);

4.2 循环，将每个数字转换为目标进制数

从L + 1开始，循环到R，将每个数字转换为目标进制数。

for (int i = L + 1; i <= R; ++i) {
    string num = convert(i, base);
    // ...
}

4.3 将目标进制数转换为十进制数

将目标进制数转换为十进制数，并判断是否为质数。

int sum = 0;
for (int j = 0; j < num.size(); ++j) {
    int n = (num[j] >= 'A' ? num[j] - 'A' + 10 : num[j] - '0');
    sum = sum * base + n;
}
if (sum == 0 || sum == 1 || !is_prime(sum)) continue;

4.4 判断二进制数是否与L的二进制数相同

如果是质数，就将该数转换为二进制数，判断是否与L的二进制数相同。

int x = sum;
bool flag = true;
while (x > 0) {
    int bit = x & 1;
    if (bit != binary[x % binary.size()] - '0') {
        flag = false;
        break;
    }
    x /= 2;
}
if (flag) ++cnt;

5. 总结

本题要求将二进制数转换为L到R之间的一个进制数，再判断其中有多少个质数。本文通过介绍了二进制转换和判断质数的方法，给出了完整的解题思路和代码实现。在实际使用中，除了上述方法，还可以使用Sieve、欧拉筛等方法来提高计算效率。